Diketahui garis p dengan persamaan y = 2x dan titik A(0,

a. B(1, 2). b. C tidak dapat ditentukan secara unik tanpa informasi D. c. Gradien garis DC adalah 2. d. Gradien garis AB sama dengan gradien garis DC.

Pembahasan

a. Titik B(1, p) terletak pada garis y = 2x. Maka, substitusikan koordinat titik B ke persamaan garis:
p = 2 * 1
p = 2
Jadi, titik B adalah (1, 2).

b. ABCD membentuk jajargenjang. Dalam jajargenjang, vektor AB sama dengan vektor DC. Titik A(0, 0) dan B(1, 2). Vektor AB = (1-0, 2-0) = (1, 2).
Misalkan titik C memiliki koordinat (x_C, y_C) dan titik D memiliki koordinat (x_D, y_D).
Vektor DC = (x_C - x_D, y_C - y_D).
Karena ABCD adalah jajargenjang, maka vektor AB = vektor DC. Ini berarti A+C = B+D, atau C = B + D - A.
Namun, tanpa mengetahui koordinat D, kita tidak bisa menentukan C secara unik. Jika kita mengasumsikan urutan titik A, B, C, D searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam, maka vektor AD = vektor BC.
Misalkan D = (x_D, y_D). Maka vektor AD = (x_D, y_D).
Nilai p yang kita dapatkan adalah 2, jadi B = (1, 2).
Vektor BC = (x_C - 1, y_C - 2).
Jika ABCD adalah jajargenjang, maka AD sejajar dan sama panjang dengan BC. Vektor AD = Vektor BC.
(x_D, y_D) = (x_C - 1, y_C - 2)
Kita juga tahu bahwa AB sejajar dan sama panjang dengan DC. Vektor AB = (1, 2).
Vektor DC = (x_C - x_D, y_C - y_D).
Ini memberikan kita dua persamaan:
x_C - x_D = 1
y_C - y_D = 2

Untuk menentukan titik C secara spesifik, kita perlu informasi lebih lanjut atau asumsi. Jika kita menganggap A(0,0), B(1,2), dan ingin membentuk jajargenjang ABCD, maka D harus memiliki koordinat (x_D, y_D) sedemikian rupa sehingga CD sejajar AB dan AD sejajar BC. Sebuah cara umum untuk membentuk jajargenjang adalah dengan memastikan bahwa titik tengah diagonal AC sama dengan titik tengah diagonal BD.
Titik tengah AC = ((0+x_C)/2, (0+y_C)/2)
Titik tengah BD = ((1+x_D)/2, (2+y_D)/2)
Maka, 0+x_C = 1+x_D  => x_C - x_D = 1
Dan 0+y_C = 2+y_D  => y_C - y_D = 2
Ini konsisten dengan sifat jajargenjang. Untuk menentukan C, kita perlu menetapkan D atau sebaliknya. Contohnya, jika kita pilih D = (0, 3), maka C = (1+0, 2+3) = (1, 5). Dengan A(0,0), B(1,2), C(1,5), D(0,3) ini bukan jajargenjang karena AD vertikal, BC vertikal, tapi AB dan DC tidak sejajar.

Mari kita gunakan sifat vektor AB = DC.
AB = (1, 2).
Misalkan D = (x_D, y_D). Maka C = D + AB = (x_D+1, y_D+2).
Sekarang gunakan sifat AD sejajar BC. Vektor AD = (x_D, y_D).
Vektor BC = C - B = (x_D+1 - 1, y_D+2 - 2) = (x_D, y_D).
Ini berarti untuk setiap titik D, kita bisa mendapatkan C. Namun, biasanya jajargenjang dibentuk dengan titik D yang spesifik. Jika kita ingin membuat jajargenjang ABCD, maka vektor AD harus sama dengan vektor BC.

Asumsi: Titik D dipilih sehingga ABCD membentuk jajargenjang. Maka, vektor AD = vektor BC. C = B + vektor AD = B + D - A = B + D.
Dengan A(0,0), B(1,2), garis p adalah y=2x.

Mari kita gunakan sifat bahwa vektor AB sejajar dan sama panjang dengan vektor DC, dan vektor AD sejajar dan sama panjang dengan vektor BC.
AB = (1, 2)
Misalkan D = (x_D, y_D). Maka vektor DC = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (1, 2).
Ini berarti x_C = x_D + 1 dan y_C = y_D + 2.

Selanjutnya, vektor AD = (x_D, y_D) harus sejajar dan sama panjang dengan vektor BC = (x_C - 1, y_C - 2).
Substitusikan x_C dan y_C:
vektor BC = (x_D + 1 - 1, y_D + 2 - 2) = (x_D, y_D).
Ini menunjukkan bahwa jika AB sejajar DC, maka AD juga sejajar BC. Kita perlu titik D yang spesifik. Tanpa informasi tambahan untuk titik D, ada tak terhingga banyak jajargenjang yang bisa dibentuk. Jika kita menganggap ABCD berurutan, maka titik C harus dipilih sehingga vektor AC = vektor AB + vektor AD.

Namun, mari kita fokus pada pertanyaan berikutnya yang berkaitan dengan garis yang melalui D dan C.

c. Garis yang melalui D dan C akan sejajar dengan garis yang melalui A dan B. Gradien garis yang melalui A(0, 0) dan B(1, 2) adalah m_AB = (2-0)/(1-0) = 2. Karena garis DC sejajar dengan garis AB, maka gradien garis DC (m_DC) juga sama dengan gradien garis AB.
m_DC = m_AB = 2.

d. Hubungan gradien garis yang melalui A dan B dengan gradien garis yang melalui titik D dan C adalah bahwa kedua gradien tersebut sama, karena garis AB sejajar dengan garis DC.