Diketahui garis singgung pada lingkaran (x-3)^2+y^2=5

Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung tersebut adalah $x + 2y = 3$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada lingkaran $(x-3)^2 + y^2 = 5$ yang melalui titik dengan absis 1 dan ordinat positif, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Mencari titik singgung:**
    Misalkan titik singgungnya adalah $(x_1, y_1)$. Titik ini terletak pada lingkaran, sehingga memenuhi persamaan $(x_1-3)^2 + y_1^2 = 5$.
    Garis singgung pada lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$. Dalam kasus ini, $a=3$, $b=0$, dan $r^2=5$, sehingga persamaan garis singgungnya adalah $(x_1-3)(x-3) + y_1y = 5$.
    Karena garis singgung melalui titik dengan absis 1, kita substitusikan $x=1$ ke dalam persamaan garis singgung: $(x_1-3)(1-3) + y_1y = 5$, yang menjadi $-2(x_1-3) + y_1y = 5$, atau $-2x_1 + 6 + y_1y = 5$.
    Kita juga tahu bahwa gradien garis singgung dapat dihitung dari turunan implisit persamaan lingkaran: $2(x-3) + 2y y' = 0$, sehingga $y' = -rac{x-3}{y}$. Gradien garis singgung di titik $(x_1, y_1)$ adalah $m_{gs} = -rac{x_1-3}{y_1}$.
    Karena titik singgung berabsis 1, maka $x_1 = 1$. Substitusikan $x_1=1$ ke dalam persamaan lingkaran: $(1-3)^2 + y_1^2 = 5 
ightarrow (-2)^2 + y_1^2 = 5 
ightarrow 4 + y_1^2 = 5 
ightarrow y_1^2 = 1 
ightarrow y_1 = 
eq 1$ (karena berordinat positif).
    Jadi, titik singgungnya adalah $(1, 1)$.
    Gradien garis singgung $m_{gs}$ di titik $(1,1)$ adalah $m_{gs} = -rac{1-3}{1} = -rac{-2}{1} = 2$.

2.  **Mencari gradien garis yang tegak lurus:**
    Garis yang tegak lurus dengan garis singgung memiliki gradien $m_{tegak 	ext{ } lurus}$ yang memenuhi $m_{gs} 	imes m_{tegak 	ext{ } lurus} = -1$. Maka, $2 	imes m_{tegak 	ext{ } lurus} = -1$, sehingga $m_{tegak 	ext{ } lurus} = -rac{1}{2}$.

3.  **Menentukan persamaan garis yang tegak lurus:**
    Kita perlu mencari persamaan garis yang tegak lurus garis singgung tersebut. Soal tidak menyebutkan titik yang dilalui oleh garis tegak lurus ini. Jika kita mengasumsikan garis tegak lurus ini melalui titik pusat lingkaran $(3,0)$ atau titik singgung $(1,1)$, maka kita bisa menentukan persamaannya. Namun, jika tidak ada informasi tambahan, kita hanya bisa menyatakan gradiennya.
    Jika kita mengasumsikan garis tegak lurus ini melalui titik singgung $(1,1)$, maka persamaannya adalah $y - 1 = -rac{1}{2}(x - 1) 
ightarrow 2(y-1) = -(x-1) 
ightarrow 2y - 2 = -x + 1 
ightarrow x + 2y = 3$.
    Jika kita mengasumsikan garis tegak lurus ini melalui pusat lingkaran $(3,0)$, maka persamaannya adalah $y - 0 = -rac{1}{2}(x - 3) 
ightarrow 2y = -x + 3 
ightarrow x + 2y = 3$.

Dengan demikian, persamaan garis yang tegak lurus garis singgung tersebut (dan melalui titik singgung atau pusat lingkaran) adalah $x + 2y = 3$.