Diketahui (gof)(x)=4x^2+4x, g(x)=x^2-1 maka f(x-2)

f(x-2) adalah 2x-3.

Pembahasan

Diketahui komposisi fungsi (gof)(x) = $4x^2 + 4x$ dan g(x) = $x^2 - 1$.
Kita perlu mencari f(x-2).

Langkah 1: Cari fungsi f(x).
Kita tahu bahwa (gof)(x) = g(f(x)).
Substitusikan f(x) ke dalam g(x):
g(f(x)) = $(f(x))^2 - 1$.

Karena (gof)(x) = $4x^2 + 4x$, maka:
$(f(x))^2 - 1 = 4x^2 + 4x$.
$(f(x))^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
Perhatikan bahwa $4x^2 + 4x + 1$ adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu $(2x+1)^2$.
$(f(x))^2 = (2x+1)^2$.
Maka, f(x) = $\pm (2x+1)$.

Kita akan mempertimbangkan kedua kemungkinan untuk f(x).

Kasus 1: f(x) = 2x + 1.
Kita perlu mencari f(x-2). Ganti x dengan (x-2) dalam f(x):
f(x-2) = 2(x-2) + 1
f(x-2) = 2x - 4 + 1
f(x-2) = 2x - 3.

Kasus 2: f(x) = -(2x + 1) = -2x - 1.
Kita perlu mencari f(x-2). Ganti x dengan (x-2) dalam f(x):
f(x-2) = -2(x-2) - 1
f(x-2) = -2x + 4 - 1
f(x-2) = -2x + 3.

Namun, biasanya dalam soal seperti ini, diasumsikan f(x) adalah fungsi tunggal. Jika kita menguji kedua kemungkinan f(x) terhadap (gof)(x):
Jika f(x) = 2x+1, maka g(f(x)) = g(2x+1) = $(2x+1)^2 - 1 = (4x^2 + 4x + 1) - 1 = 4x^2 + 4x$. Ini cocok.
Jika f(x) = -2x-1, maka g(f(x)) = g(-2x-1) = $(-2x-1)^2 - 1 = (4x^2 + 4x + 1) - 1 = 4x^2 + 4x$. Ini juga cocok.

Dalam konteks ujian standar, biasanya f(x) diasumsikan positif atau bentuk paling sederhana. Jika tidak ada informasi tambahan, $f(x) = 2x+1$ adalah pilihan yang lebih umum.

Mari kita gunakan f(x) = 2x + 1 untuk mencari f(x-2).
f(x-2) = 2(x-2) + 1 = 2x - 4 + 1 = 2x - 3.

Jika kita mengasumsikan soal menginginkan satu jawaban, $f(x) = 2x+1$ adalah asumsi yang paling mungkin.