Diketahui KLMN adalah suatu layang-layang. Diagonal KM

Panjang rusuk = 2*sqrt(13) cm. Sudut ≈ 67.38° dan 112.62°.

Pembahasan

Soal 5: Menentukan sifat-sifat layang-layang.
Diketahui layang-layang KLMN dengan diagonal KM membagi NL di P.
KP = 4 cm, PL = 6 cm, KM = 13 cm.
Karena diagonal layang-layang berpotongan tegak lurus, maka sudut di P adalah 90°.
Panjang PN = PL = 6 cm (salah satu diagonal membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang).
Panjang KL = LM (sisi yang berdekatan sama panjang).
Panjang KN = NM.
Panjang KN = sqrt(KP^2 + PN^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm.
Panjang KL = sqrt(KP^2 + PL^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm.
Karena KM membagi diagonal NL di P, dan PL=6, maka NL = 2 * PL = 12 cm. Juga, diagonal KM=13 cm, maka KP=4 dan PM=9 atau sebaliknya. Namun, dalam layang-layang yang umum, salah satu diagonal membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Jika KM membagi NL di P, maka NL adalah diagonal yang dibagi. Jika KM adalah sumbu simetri, maka KM membagi NL menjadi dua sama panjang, sehingga PL = PN = 6 cm. Namun, soal menyatakan KP = 4 cm dan KM = 13 cm, ini berarti P bukan titik tengah KM. Jika NL adalah diagonal yang dibagi, maka PL = PN = 6 cm. Maka NL = 12 cm. Sisi-sisinya adalah KL = LM = KN = NM = 2*sqrt(13) cm, yang berarti layang-layang ini adalah belah ketupat. Dalam belah ketupat, semua sudut berhadapan sama besar, dan diagonalnya membagi dua sudut-sudutnya. Jika ini adalah belah ketupat, maka P adalah titik tengah kedua diagonal, yang bertentangan dengan KP=4 dan KM=13. Kita asumsikan layang-layang biasa. Sisi-sisinya: KN = NM = sqrt(KP^2 + PN^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16+36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm. KL = LM = sqrt(LP^2 + KP^2) = sqrt(6^2 + 4^2) = sqrt(36+16) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm. Jadi semua sisi sama, ini adalah belah ketupat. Sudut-sudut: Kita bisa menggunakan trigonometri. tan(∠PKN) = PN/KP = 6/4 = 3/2. ∠PKN = arctan(3/2). ∠LKP = arctan(PL/KP) = arctan(6/4) = arctan(3/2). Karena layang-layang ini belah ketupat, ∠LKN = 2 * ∠PKN = 2 * arctan(3/2). ∠KLM = 2 * ∠PLK = 2 * arctan(4/6) = 2 * arctan(2/3). Sudut K dan M sama besar, Sudut L dan N sama besar. Karena belah ketupat, ∠K + ∠L + ∠M + ∠N = 360°. 2∠K + 2∠L = 360°. ∠K + ∠L = 180°. Jika ∠K = 2 * arctan(3/2) dan ∠L = 2 * arctan(2/3), maka ∠K + ∠L = 2(arctan(3/2) + arctan(2/3)). Menggunakan identitas arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2, maka arctan(3/2) + arctan(2/3) = pi/2. Jadi ∠K + ∠L = 2(pi/2) = pi = 180°. Jadi sudut-sudutnya adalah: ∠KLM = ∠KNM = 2 * arctan(2/3) ≈ 63.43° * 2 = 126.86°. ∠LMN = ∠LKN = 2 * arctan(3/2) ≈ 56.31° * 2 = 112.62°. Ini salah. Mari kita revisi. Dalam layang-layang KLMN, diagonal KM dan NL berpotongan tegak lurus di P. KP = 4, PL = 6, KM = 13. Maka PN = PL = 6 cm (salah satu diagonal dibagi dua sama panjang). NL = PL + PN = 6 + 6 = 12 cm. P membagi KM. Bisa KP=4 dan PM=9, atau KP=9 dan PM=4. Karena KLMN adalah layang-layang, maka KL = KN dan LM = NM. Sisi-sisi: KN = sqrt(KP^2 + PN^2) = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm. LM = sqrt(PM^2 + PL^2). Kita tidak tahu PM. Tetapi KL = LM dan KN = NM. Sisi-sisi yang berdekatan sama panjang. Dari gambar layang-layang, diagonal KM adalah sumbu simetri jika PL=PN. Di sini PL=6 dan PN=6. Jadi KM adalah sumbu simetri. Maka KL=LM dan KN=NM. Sisi-sisi: KL = LM = sqrt(PL^2 + KP^2) = sqrt(6^2 + 4^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm. KN = NM = sqrt(PN^2 + KP^2) = sqrt(6^2 + 4^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52) = 2*sqrt(13) cm. Ternyata semua sisi sama, ini adalah belah ketupat. KM = 13, NL = 12. KP=4, PM=9. PL=6, PN=6. Sudut-sudut: tan(∠PKL) = PL/KP = 6/4 = 3/2 => ∠PKL = arctan(3/2) ≈ 56.31°. tan(∠PKN) = PN/KP = 6/4 = 3/2 => ∠PKN = arctan(3/2) ≈ 56.31°. Jadi ∠LKN = ∠PKL + ∠PKN = 2 * arctan(3/2) ≈ 112.62°. tan(∠PLK) = KP/PL = 4/6 = 2/3 => ∠PLK = arctan(2/3) ≈ 33.69°. tan(∠PNL) = KP/PN = 4/6 = 2/3 => ∠PNL = arctan(2/3) ≈ 33.69°. Jadi ∠KLM = ∠PLK + ∠PMK. Kita perlu PM. Jika KM = 13 dan KP = 4, maka PM = 13 - 4 = 9. tan(∠PMK) = PL/PM = 6/9 = 2/3 => ∠PMK = arctan(2/3) ≈ 33.69°. ∠KLM = ∠PLK + ∠PMK = arctan(2/3) + arctan(2/3) = 2 * arctan(2/3) ≈ 67.38°. Sudut-sudutnya adalah: ∠KLM = ∠KNM = 2 * arctan(2/3) ≈ 67.38°. ∠LMN = ∠LKN = 2 * arctan(3/2) ≈ 112.62°. Cek: 2 * 67.38° + 2 * 112.62° = 134.76° + 225.24° = 360°. Jadi sisi-sisinya adalah 2*sqrt(13) cm, dan sudut-sudutnya kira-kira 67.38° dan 112.62°.