Diketahui koordinat titik P(0,0,0), Q(4, a,-4), dan

a = 9

Pembahasan

Pertama, kita cari vektor PQ (u) dan vektor PR (v).
Vektor PQ (u) = Q - P = (4-0, a-0, -4-0) = (4, a, -4)
Vektor PR (v) = R - P = (4-0, -2-0, 4-0) = (4, -2, 4)

Proyeksi vektor ortogonal u pada v diberikan oleh rumus:
proy_v u = ((u . v) / |v|^2) * v

Diketahui proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah -2i+j-2k.

Hitung u . v:
u . v = (4 * 4) + (a * -2) + (-4 * 4)
u . v = 16 - 2a - 16
u . v = -2a

Hitung |v|^2:
|v|^2 = 4^2 + (-2)^2 + 4^2
|v|^2 = 16 + 4 + 16
|v|^2 = 36

Sekarang, substitusikan ke dalam rumus proyeksi:
proy_v u = ((-2a) / 36) * (4, -2, 4)
proy_v u = (-a/18) * (4, -2, 4)
proy_v u = (-4a/18, 2a/18, -4a/18)
proy_v u = (-2a/9, a/9, -2a/9)

Kita tahu bahwa proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah -2i+j-2k, yang berarti:
(-2a/9, a/9, -2a/9) = (-2, 1, -2)

Dari komponen i:
-2a/9 = -2
-2a = -18
a = 9

Dari komponen j:
a/9 = 1
a = 9

Dari komponen k:
-2a/9 = -2
-2a = -18
a = 9

Jadi, nilai a adalah 9.