Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini. H G E F D C

4√6 cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak antara titik B dengan garis EC pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 12 cm, kita perlu menggunakan konsep proyeksi vektor atau teorema Pythagoras dalam ruang.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1.  Tetapkan sistem koordinat:
    Misalkan titik A berada di (0,0,0).
    Karena AB = 12, maka B = (12,0,0).
    Karena AD = 12, maka D = (0,12,0).
    Karena AE = 12, maka E = (0,0,12).
    Dari sini, kita dapat menentukan koordinat titik C dan H.
    C = (12,12,0)
    G = (12,12,12)
    H = (0,12,12)

2.  Tentukan vektor arah garis EC:
    Vektor EC = C - E = (12,12,0) - (0,0,12) = (12, 12, -12).
    Kita bisa menyederhanakan vektor arah ini menjadi (1, 1, -1) dengan membagi dengan 12.

3.  Tentukan vektor dari titik B ke salah satu titik pada garis EC (misalnya E):
    Vektor BE = E - B = (0,0,12) - (12,0,0) = (-12, 0, 12).

4.  Hitung jarak titik B ke garis EC:
    Jarak d dapat dihitung menggunakan rumus:
    d = |BE x vektor_arah_EC| / |vektor_arah_EC|

    Hitung perkalian silang BE x vektor_arah_EC:
    BE = (-12, 0, 12)
    vektor_arah_EC = (12, 12, -12)

    BE x EC = | i    j    k   |
              | -12  0   12  |
              | 12   12  -12 |

    = i * (0*(-12) - 12*12) - j * ((-12)*(-12) - 12*12) + k * ((-12)*12 - 0*12)
    = i * (0 - 144) - j * (144 - 144) + k * (-144 - 0)
    = -144i - 0j - 144k
    = (-144, 0, -144)

    Hitung magnitudo dari hasil perkalian silang:
    |BE x EC| = sqrt((-144)^2 + 0^2 + (-144)^2)
    = sqrt(20736 + 0 + 20736)
    = sqrt(41472)
    = sqrt(2 * 144^2)
    = 144 * sqrt(2)

    Hitung magnitudo dari vektor arah EC:
    |EC| = sqrt(12^2 + 12^2 + (-12)^2)
    = sqrt(144 + 144 + 144)
    = sqrt(3 * 144)
    = 12 * sqrt(3)

    Hitung jaraknya:
    d = (144 * sqrt(2)) / (12 * sqrt(3))
    d = 12 * sqrt(2) / sqrt(3)
    d = 12 * sqrt(6) / 3
    d = 4 * sqrt(6) cm

Alternatif menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku:
1.  Perhatikan segitiga siku-siku BCE.
    BC = 12 cm
    CE = diagonal sisi kubus = sqrt(12^2 + 12^2) = sqrt(144 + 144) = sqrt(288) = 12 * sqrt(2) cm.

2.  Cari jarak titik B ke garis EC.
    Misalkan P adalah titik pada garis EC sehingga BP tegak lurus EC.
    Kita perlu mencari panjang BP.
    Perhatikan segitiga BCE.
    Luas segitiga BCE = (1/2) * BC * BE = (1/2) * 12 * 12 = 72 (Ini salah karena BE bukan tegak lurus BC).

    Kita perlu mencari luas segitiga BCE dengan alas EC dan tinggi BP.
    Segitiga BCE adalah segitiga siku-siku di B.
    BC = 12
    BE = 12
    EC = 12*sqrt(2)

    Luas segitiga BCE = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * BC * BE = (1/2) * 12 * 12 = 72.

    Sekarang, kita gunakan EC sebagai alas, dan BP sebagai tinggi.
    Luas = (1/2) * EC * BP
    72 = (1/2) * (12 * sqrt(2)) * BP
    72 = 6 * sqrt(2) * BP
    BP = 72 / (6 * sqrt(2))
    BP = 12 / sqrt(2)
    BP = 12 * sqrt(2) / 2
    BP = 6 * sqrt(2) cm.

    Tunggu, ada kesalahan dalam penentuan segitiga siku-siku.

    Mari kita kembali ke konsep jarak titik ke garis dalam ruang.

    Titik B = (12,0,0)
    Garis EC: E = (0,0,12), C = (12,12,0).
    Vektor arah garis EC = C - E = (12, 12, -12).
    Titik pada garis EC dapat ditulis sebagai P(t) = E + t * (C-E) = (0,0,12) + t(12,12,-12) = (12t, 12t, 12-12t).

    Kita ingin mencari jarak minimum antara B dan P(t), yang terjadi ketika vektor BP tegak lurus terhadap vektor arah EC.
    Vektor BP = P(t) - B = (12t - 12, 12t, 12 - 12t).

    Syarat tegak lurus: BP . (C-E) = 0
    (12t - 12, 12t, 12 - 12t) . (12, 12, -12) = 0
    (12t - 12)*12 + (12t)*12 + (12 - 12t)*(-12) = 0
    144t - 144 + 144t - 144 + 144t = 0
    432t - 288 = 0
    432t = 288
    t = 288 / 432
    t = 2 / 3

    Sekarang, substitusikan nilai t = 2/3 ke dalam vektor BP:
    BP = (12*(2/3) - 12, 12*(2/3), 12 - 12*(2/3))
    BP = (8 - 12, 8, 12 - 8)
    BP = (-4, 8, 4)

    Hitung magnitudo dari vektor BP:
    Jarak = |BP| = sqrt((-4)^2 + 8^2 + 4^2)
    Jarak = sqrt(16 + 64 + 16)
    Jarak = sqrt(96)
    Jarak = sqrt(16 * 6)
    Jarak = 4 * sqrt(6) cm.

    Ini konsisten dengan hasil sebelumnya.

    Mari kita coba cara lain menggunakan proyeksi pada bidang:
    1. Cari jarak dari B ke bidang EFGH.
    2. Cari jarak dari B ke garis EC di bidang EFGH.

    Cara geometris:
    Perhatikan segitiga siku-siku BCE, siku-siku di B.
    BC = 12
    BE = 12
    EC = diagonal sisi = 12√2

    Jarak dari B ke garis EC adalah tinggi segitiga BCE jika alasnya adalah EC.
    Luas segitiga BCE = ½ × alas × tinggi
    Jika alas = BC, tinggi = BE (karena siku-siku di B):
    Luas = ½ × 12 × 12 = 72

    Jika alas = EC, tinggi = jarak B ke EC (sebut saja h):
    Luas = ½ × EC × h
    72 = ½ × (12√2) × h
    72 = 6√2 × h
    h = 72 / (6√2)
    h = 12 / √2
    h = 12√2 / 2
    h = 6√2 cm.

    Ini adalah jarak B ke garis EC jika kita melihat pada bidang BCE. Namun, kita perlu jarak B ke garis EC dalam ruang 3D. Garis EC berada pada bidang EFGH, sedangkan titik B berada di bidang ABCD.

    Mari kita kembali ke konsep proyeksi.
    Jarak titik B ke garis EC.
    Kita tahu bahwa B=(12,0,0), E=(0,0,12), C=(12,12,0).
    Vektor EC = (12,12,-12).
    Vektor EB = (12,0,0) - (0,0,12) = (12,0,-12).

    Proyeksi vektor EB pada vektor EC:
    Proj_EC EB = (EB . EC / |EC|^2) * EC
    EB . EC = (12)(12) + (0)(12) + (-12)(-12) = 144 + 0 + 144 = 288.
    |EC|^2 = 12^2 + 12^2 + (-12)^2 = 144 + 144 + 144 = 432.

    Proj_EC EB = (288 / 432) * (12, 12, -12)
    Proj_EC EB = (2/3) * (12, 12, -12)
    Proj_EC EB = (8, 8, -8).

    Vektor dari B ke proyeksi EC adalah (8, 8, -8).
    Misalkan proyeksi titik B pada garis EC adalah P.
    Vektor BP = Proj_EC EB = (8, 8, -8).
    Jarak B ke garis EC adalah magnitudo dari vektor BP.
    |BP| = sqrt(8^2 + 8^2 + (-8)^2) = sqrt(64 + 64 + 64) = sqrt(3 * 64) = 8 * sqrt(3).

    Ini juga berbeda.
    Mari kita periksa kembali perhitungan perkalian silang.
    BE = (-12, 0, 12)
    EC = (12, 12, -12)

    BE x EC = (-144, 0, -144)
    |BE x EC| = sqrt((-144)^2 + 0^2 + (-144)^2) = sqrt(2 * 144^2) = 144 * sqrt(2).
    |EC| = sqrt(12^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(3 * 144) = 12 * sqrt(3).

    d = |BE x EC| / |EC| = (144 * sqrt(2)) / (12 * sqrt(3)) = 12 * sqrt(2) / sqrt(3) = 12 * sqrt(6) / 3 = 4 * sqrt(6).

    Ini adalah metode yang paling umum dan akurat.

    Mari kita cek kembali perhitungan proyeksi.
    Vektor EB = (12,0,-12).
    Vektor EC = (12,12,-12).

    Proyeksi vektor EB pada vektor EC:
    Proj_EC EB = (EB . EC / |EC|^2) * EC
    EB . EC = 12*12 + 0*12 + (-12)*(-12) = 144 + 144 = 288.
    |EC|^2 = 12^2 + 12^2 + (-12)^2 = 432.

    Proj_EC EB = (288 / 432) * (12, 12, -12) = (2/3) * (12, 12, -12) = (8, 8, -8).

    Vektor dari titik E ke proyeksi B pada garis EC adalah (8, 8, -8).
    Vektor dari titik B ke proyeksi B pada garis EC adalah proyeksi vektor BE pada EC.
    Vektor BE = E - B = (0,0,12) - (12,0,0) = (-12, 0, 12).
    Vektor EC = (12, 12, -12).

    Proj_EC BE = (BE . EC / |EC|^2) * EC
    BE . EC = (-12)(12) + (0)(12) + (12)(-12) = -144 + 0 - 144 = -288.
    |EC|^2 = 432.

    Proj_EC BE = (-288 / 432) * (12, 12, -12)
    Proj_EC BE = (-2/3) * (12, 12, -12)
    Proj_EC BE = (-8, -8, 8).

    Vektor dari B ke proyeksi titik pada garis EC adalah (-8, -8, 8).
    Jarak B ke garis EC adalah magnitudo dari vektor ini.
    Jarak = sqrt((-8)^2 + (-8)^2 + 8^2) = sqrt(64 + 64 + 64) = sqrt(3 * 64) = 8 * sqrt(3).

    Masih berbeda. Ada kesalahan mendasar dalam penerapan rumus proyeksi atau perkalian silang.

    Mari kita kembali ke metode perkalian silang, yang lebih umum untuk jarak titik ke garis.
    Titik B = (12,0,0)
    Garis EC, dengan E = (0,0,12) dan C = (12,12,0).
    Vektor arah garis EC = C - E = (12, 12, -12).
    Vektor dari titik di garis ke B, misal EB = B - E = (12,0,0) - (0,0,12) = (12, 0, -12).

    Jarak d = |EB x EC| / |EC|

    EB x EC = | i    j    k  |
              | 12   0   -12 |
              | 12  12   -12 |

    = i * (0*(-12) - (-12)*12) - j * (12*(-12) - (-12)*12) + k * (12*12 - 0*12)
    = i * (0 + 144) - j * (-144 + 144) + k * (144 - 0)
    = 144i - 0j + 144k
    = (144, 0, 144)

    |EB x EC| = sqrt(144^2 + 0^2 + 144^2) = sqrt(2 * 144^2) = 144 * sqrt(2).
    |EC| = sqrt(12^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(144 + 144 + 144) = sqrt(3 * 144) = 12 * sqrt(3).

    d = (144 * sqrt(2)) / (12 * sqrt(3))
    d = 12 * sqrt(2) / sqrt(3)
    d = 12 * sqrt(6) / 3
    d = 4 * sqrt(6) cm.

    Ini adalah hasil yang konsisten dengan perhitungan pertama saya.

    Mari kita cek lagi perhitungan proyeksi.
    Titik B = (12,0,0)
    Garis EC, E=(0,0,12), C=(12,12,0).
    Vektor arah EC = (12,12,-12).
    Titik pada garis EC: P(t) = E + t*EC = (0,0,12) + t(12,12,-12) = (12t, 12t, 12-12t).
    Vektor BP = P(t) - B = (12t-12, 12t, 12-12t).

    BP tegak lurus EC jika BP . EC = 0.
    (12t-12)*12 + (12t)*12 + (12-12t)*(-12) = 0
    144t - 144 + 144t - 144 + 144t = 0
    432t - 288 = 0
    t = 288/432 = 2/3.

    Vektor BP untuk t=2/3:
    BP = (12(2/3)-12, 12(2/3), 12-12(2/3))
    BP = (8-12, 8, 12-8)
    BP = (-4, 8, 4).

    Jarak = |BP| = sqrt((-4)^2 + 8^2 + 4^2) = sqrt(16+64+16) = sqrt(96) = 4*sqrt(6).

    Kedua metode memberikan hasil yang sama: 4√6 cm.

    Mari kita coba pendekatan geometris lain dengan memproyeksikan titik B ke bidang EFGH.
    Bidang EFGH memiliki persamaan z = 12.
    Proyeksi titik B(12,0,0) ke bidang EFGH adalah B' = (12,0,12).
    Sekarang kita cari jarak B' ke garis EC di bidang EFGH.
    Garis EC berada pada bidang EFGH.
    Titik E = (0,0,12), C = (12,12,0).
    Vektor EC = (12,12,-12).
    Titik pada garis EC: P(t) = (12t, 12t, 12-12t).
    Titik B' = (12,0,12).
    Vektor B'P = P(t) - B' = (12t-12, 12t, 12-12t - 12) = (12t-12, 12t, -12t).

    B'P tegak lurus EC jika B'P . EC = 0.
    (12t-12)*12 + (12t)*12 + (-12t)*(-12) = 0
    144t - 144 + 144t + 144t = 0
    432t - 144 = 0
    t = 144/432 = 1/3.

    Vektor B'P untuk t=1/3:
    B'P = (12(1/3)-12, 12(1/3), -12(1/3))
    B'P = (4-12, 4, -4)
    B'P = (-8, 4, -4).

    Jarak B' ke garis EC = |B'P| = sqrt((-8)^2 + 4^2 + (-4)^2) = sqrt(64 + 16 + 16) = sqrt(96) = 4*sqrt(6).

    Ini berarti jarak proyeksi titik B ke garis EC sama dengan jarak titik B ke garis EC. Ini terjadi karena vektor normal bidang EFGH tegak lurus dengan vektor arah garis EC.

    Perlu diperiksa kembali. Vektor normal bidang EFGH = (0,0,1).
Vektor EC = (12,12,-12).
    (0,0,1) . (12,12,-12) = -12. Tidak nol.
    Jadi, proyeksi tidak sesederhana itu.

    Kembali ke hasil 4√6 cm. Ini adalah hasil yang paling konsisten dari berbagai metode.

    Mari kita pastikan koordinatnya benar.
A=(0,0,0), B=(12,0,0), C=(12,12,0), D=(0,12,0), E=(0,0,12), F=(12,0,12), G=(12,12,12), H=(0,12,12).

    Titik B = (12,0,0).
    Garis EC.
    E = (0,0,12)
    C = (12,12,0)
    Vektor arah EC = (12,12,-12).
    Vektor dari E ke B: EB = B-E = (12,0,-12).

    Jarak d = |EB x EC| / |EC|

    EB x EC = (12,0,-12) x (12,12,-12)
            = (0*(-12) - (-12)*12, (-12)*12 - 12*(-12), 12*12 - 0*12)
            = (0 + 144, -144 + 144, 144 - 0)
            = (144, 0, 144)

    |EB x EC| = sqrt(144^2 + 0^2 + 144^2) = sqrt(2 * 144^2) = 144√2.
    |EC| = sqrt(12^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(144 + 144 + 144) = sqrt(3 * 144) = 12√3.

    d = (144√2) / (12√3) = 12√2 / √3 = 12√6 / 3 = 4√6.

    Hasilnya konsisten.

    Final check: 4√6.
    √6 ≈ 2.45.
    4 * 2.45 = 9.8 cm.

    Ini adalah jarak antara titik B dan garis EC.
    Perhatikan bahwa garis EC adalah diagonal ruang dari bidang yang bersebelahan dengan titik B.
    Bidang ABCD dan bidang EFGH, serta bidang ABFE dan DCGH.
Garis EC berada di bidang DCGH dan ABFE.

    Mari kita lihat segitiga siku-siku BEC.
    BC = 12
    BE = 12
    EC = 12√2.
    Jarak dari B ke EC di segitiga BCE adalah 6√2.
    Ini berbeda karena EC adalah diagonal ruang, bukan diagonal sisi.

    EC adalah diagonal dari bidang EFGH atau bidang ABCD. Mari kita periksa.
    E=(0,0,12), C=(12,12,0).
    EC = sqrt((12-0)^2 + (12-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt(144+144+144) = sqrt(3*144) = 12√3.
    Ini adalah diagonal ruang.

    Jadi, EC adalah diagonal ruang kubus.
    Titik B adalah salah satu titik sudut.

    Koordinat ulang:
    A=(0,0,0), B=(12,0,0), C=(12,12,0), D=(0,12,0), E=(0,0,12), F=(12,0,12), G=(12,12,12), H=(0,12,12).

    Garis EC:
    E = (0,0,12)
    C = (12,12,0)
    Vektor EC = (12,12,-12)

    Titik B = (12,0,0)

    Jarak titik ke garis EC.
    Jarak d = |EB x EC| / |EC|
    EB = B - E = (12,0,0) - (0,0,12) = (12,0,-12).
    EC = (12,12,-12).

    EB x EC = (12,0,-12) x (12,12,-12)
            = (0(-12) - (-12)12, (-12)12 - 12(-12), 12*12 - 0*12)
            = (144, 0, 144)

    |EB x EC| = sqrt(144^2 + 0^2 + 144^2) = sqrt(2 * 144^2) = 144√2.
    |EC| = sqrt(12^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(3 * 144) = 12√3.

    d = (144√2) / (12√3) = 12√2 / √3 = 12√6 / 3 = 4√6.

    Hasilnya tetap 4√6 cm.

    Ada kemungkinan saya salah memahami EC sebagai diagonal ruang. EC adalah diagonal bidang yang menghubungkan E ke C.
    E=(0,0,12), C=(12,12,0).
    EC = sqrt((12-0)^2 + (12-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt(144+144+144) = sqrt(3*144) = 12√3. Ya, ini diagonal ruang.

    Titik B=(12,0,0).

    Perhatikan segitiga siku-siku BEC, siku-siku di B.
    BC = 12
    BE = 12
    EC = 12√2 (diagonal sisi BCGF atau ADHE).
    Jika EC adalah diagonal sisi, maka koordinatnya berbeda.
    Jika AB=12, maka EC adalah diagonal dari bidang EFGH.
    E=(0,0,12), F=(12,0,12), G=(12,12,12), H=(0,12,12).
    Diagonal EC di bidang EFGH tidak ada.
    Yang ada diagonal EG atau FH.

    Jika kita merujuk pada kubus ABCD.EFGH:
    Bidang dasar ABCD. Titik A=(0,0,0), B=(12,0,0), C=(12,12,0), D=(0,12,0).
    Bidang atas EFGH. Titik E=(0,0,12), F=(12,0,12), G=(12,12,12), H=(0,12,12).

    Garis EC: E=(0,0,12), C=(12,12,0).
    Ini adalah diagonal ruang.

    Titik B = (12,0,0).

    Rumus jarak titik ke garis dengan parametrik:
    Titik pada garis EC: P(t) = E + t(C-E) = (0,0,12) + t(12,12,-12) = (12t, 12t, 12-12t).
    Vektor BP = P(t) - B = (12t-12, 12t, 12-12t).

    Syarat BP tegak lurus EC:
    BP . EC = 0
    (12t-12)(12) + (12t)(12) + (12-12t)(-12) = 0
    144t - 144 + 144t - 144 + 144t = 0
    432t - 288 = 0
    t = 288/432 = 2/3.

    Jarak = |BP| ketika t = 2/3.
    BP = (12(2/3)-12, 12(2/3), 12-12(2/3))
       = (8-12, 8, 12-8)
       = (-4, 8, 4).

    Jarak = sqrt((-4)^2 + 8^2 + 4^2) = sqrt(16 + 64 + 16) = sqrt(96) = 4√6.

    Hasilnya konsisten.

    Jawaban akhirnya adalah 4√6 cm.