Diketahui kubus A B C D . E F G H dengan panjang rusuk 12

Jarak titik C ke bidang BKD adalah 2√6 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik K terletak pada pertengahan garis CG.

Kita perlu mencari jarak titik C ke bidang BKD.

1.  **Identifikasi Bidang BKD:**
    Bidang BKD dibentuk oleh titik B, K, dan D. Titik K adalah pertengahan CG, sehingga CK = KG = 12/2 = 6 cm.

2.  **Proyeksi Titik C pada Bidang BKD:**
    Kita perlu mencari titik P pada bidang BKD sehingga CP tegak lurus terhadap bidang BKD. Jarak yang dicari adalah panjang CP.

3.  **Menggunakan Volume Limas:**
    Kita bisa membandingkan volume limas C.BKD dengan limas C.BCD.
    *   Volume limas C.BKD = 1/3 * Luas Alas(BKD) * Tinggi (jarak C ke bidang BKD)
    *   Volume limas C.BCD = 1/3 * Luas Alas(BCD) * Tinggi (panjang rusuk CB)

    Alternatif lain adalah menggunakan proyeksi ortogonal atau vektor.

    Misalkan kita letakkan titik C pada (0,0,0), B pada (12,0,0), D pada (0,12,0), dan G pada (12,12,12). Karena K pertengahan CG, maka K adalah (12,12,6).

    Persamaan bidang BKD:
    B = (12, 0, 0)
    K = (12, 12, 6)
    D = (0, 12, 0)

    Vektor $\vec{DB}$ = B - D = (12, -12, 0)
    Vektor $\vec{DK}$ = K - D = (12, 0, 6)

    Vektor normal bidang BKD adalah hasil perkalian silang $\vec{DB} \times \vec{DK}$:
    $\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & -12 & 0 \\ 12 & 0 & 6 \end{vmatrix}$
    $\vec{n} = i(-72 - 0) - j(72 - 0) + k(0 - (-144))$
    $\vec{n} = -72i - 72j + 144k$
    Kita bisa sederhanakan normalnya menjadi (1, 1, -2).

    Persamaan bidang BKD adalah $1(x - 0) + 1(y - 12) - 2(z - 0) = 0$
    x + y - 12 - 2z = 0
    x + y - 2z = 12

    Jarak titik C (0,0,0) ke bidang x + y - 2z - 12 = 0 adalah:
    Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
    Jarak = |1(0) + 1(0) - 2(0) - 12| / √(1^2 + 1^2 + (-2)^2)
    Jarak = |-12| / √(1 + 1 + 4)
    Jarak = 12 / √6
    Jarak = 12√6 / 6
    Jarak = 2√6 cm.

Jarak titik C ke bidang BKD adalah 2√6 cm.