Diketahui kubus A B C D . E F G H dengan panjang rusuk 2 a

Jarak titik G ke segitiga PQR adalah (a/3) * akar(3).

Pembahasan

Ini adalah soal geometri ruang yang menanyakan jarak dari titik ke sebuah bidang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a. Titik P, Q, dan R masing-masing pertengahan FG, CG, dan HG.

Kita perlu mencari jarak titik G ke segitiga PQR.

Misalkan kita tempatkan titik G pada koordinat (0, 0, 0).
Karena rusuknya 2a, maka:

Koordinat titik G = (0, 0, 0)
Koordinat titik F = (2a, 0, 0)
Koordinat titik C = (0, 2a, 0)
Koordinat titik H = (0, 0, 2a)

Karena P adalah pertengahan FG:
P = ((2a+0)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (a, 0, 0)

Karena Q adalah pertengahan CG:
Q = ((0+0)/2, (2a+0)/2, (0+0)/2) = (0, a, 0)

Karena R adalah pertengahan HG:
R = ((0+0)/2, (0+0)/2, (2a+0)/2) = (0, 0, a)

Segitiga PQR adalah segitiga siku-siku di P dengan panjang sisi PQ = sqrt((a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-0)^2) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2)
PR = sqrt((a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a)^2) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2)
QR = sqrt((0-0)^2 + (a-0)^2 + (0-a)^2) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2)

Segitiga PQR adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi a*sqrt(2).

Untuk mencari jarak titik G ke bidang PQR, kita dapat menggunakan rumus jarak titik ke bidang. Namun, karena PQR adalah segitiga sama sisi yang dibentuk oleh titik-titik pada sumbu koordinat, kita dapat melihat bahwa bidang PQR membentuk sebuah 'segitiga' dengan titik-titik (a,0,0), (0,a,0), dan (0,0,a). Persamaan bidang yang melalui ketiga titik ini adalah x/a + y/a + z/a = 1, atau x + y + z = a.

Jarak dari titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).
Dalam kasus ini, titiknya adalah G(0, 0, 0) dan bidangnya adalah x + y + z - a = 0.

Jarak = |1*0 + 1*0 + 1*0 - a| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)
Jarak = |-a| / sqrt(3)
Jarak = a / sqrt(3)
Jarak = (a * sqrt(3)) / 3

Jawaban yang sesuai adalah c. (a)/(3) akar(3)