Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk sama dengan 4

4√6 / 3 dm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk s = 4 dm.
Kita ingin mencari jarak titik H ke diagonal AG.

Untuk memvisualisasikan masalah ini, bayangkan kubus tersebut. Titik H adalah salah satu sudut di bagian belakang bawah, sedangkan AG adalah diagonal ruang yang membentang dari sudut depan bawah (A) ke sudut belakang atas (G).

Jarak dari titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus dari titik tersebut ke garis.

Kita bisa menggunakan konsep proyeksi atau luas segitiga untuk menyelesaikannya.

Metode 1: Menggunakan Luas Segitiga
Perhatikan segitiga siku-siku AHG. Sisi-sisinya adalah:
- AH: Diagonal sisi alas kubus. AH = s√2 = 4√2 dm.
- HG: Rusuk kubus. HG = s = 4 dm.
- AG: Diagonal ruang kubus. AG = s√3 = 4√3 dm.

Misalkan d adalah jarak dari titik H ke diagonal AG. Ini adalah tinggi segitiga AHG dari sudut H ke sisi miring AG.

Luas segitiga AHG dapat dihitung dengan dua cara:
1.  Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AH * HG (karena AH tegak lurus HG)
    Luas = 1/2 * (4√2) * 4 = 8√2 dm²

2.  Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AG * d (di mana d adalah jarak yang dicari)
    Luas = 1/2 * (4√3) * d

Samakan kedua ekspresi luas:
8√2 = 1/2 * (4√3) * d
8√2 = 2√3 * d

d = (8√2) / (2√3)
d = (4√2) / √3

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan √3/√3:
d = (4√2 * √3) / (√3 * √3)
d = 4√6 / 3 dm

Metode 2: Menggunakan Koordinat Cartesius
Misalkan A = (0, 0, 0).
Karena panjang rusuk adalah 4:
B = (4, 0, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
H = (0, 4, 4)
G = (4, 4, 4)

Persamaan garis AG yang melalui A(0,0,0) dan G(4,4,4) dapat direpresentasikan sebagai:
r(t) = A + t(G - A) = (0,0,0) + t(4,4,4) = (4t, 4t, 4t)

Titik pada garis AG adalah P = (4t, 4t, 4t).

Jarak kuadrat dari H(0,4,4) ke titik P pada garis AG adalah:
d² = (4t - 0)² + (4t - 4)² + (4t - 4)²
d² = (4t)² + 2 * (4t - 4)²
d² = 16t² + 2 * (16t² - 32t + 16)
d² = 16t² + 32t² - 64t + 32
d² = 48t² - 64t + 32

Untuk mencari jarak minimum, kita perlu meminimalkan d². Cari turunan terhadap t dan setel sama dengan 0:
d(d²)/dt = 96t - 64

Setel turunan sama dengan 0:
96t - 64 = 0
96t = 64
t = 64 / 96 = 2 / 3

Sekarang substitusikan nilai t kembali ke persamaan d²:
d² = 48(2/3)² - 64(2/3) + 32
d² = 48(4/9) - 128/3 + 32
d² = (16 * 4)/3 - 128/3 + 96/3
d² = 64/3 - 128/3 + 96/3
d² = (64 - 128 + 96) / 3
d² = 32 / 3

d = √(32/3) = √32 / √3 = 4√2 / √3

Rasionalkan:
d = (4√2 * √3) / (√3 * √3) = 4√6 / 3 dm

Jadi, jarak titik H ke AG adalah 4√6 / 3 dm.