Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik

Irisan bidang alpha dan kubus adalah segiempat PDFQ.

Pembahasan

Untuk menggambar irisan bidang alpha dengan kubus ABCD.EFGH, kita perlu mengidentifikasi titik-titik perpotongan bidang tersebut dengan rusuk-rusuk kubus.

Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.
Titik P adalah pertengahan rusuk AE.
Bidang alpha melalui titik-titik P, D, dan F.

Langkah-langkah menggambar:
1.  Gambarlah kubus ABCD.EFGH terlebih dahulu.
2.  Tandai titik P sebagai pertengahan rusuk AE.
3.  Hubungkan titik P dengan titik D dan titik F.
4.  Bidang alpha dibatasi oleh titik P, D, dan F. Untuk menentukan irisan bidang dengan kubus, kita perlu mencari titik potong lain dari bidang ini dengan rusuk-rusuk kubus.
    *   Bidang PFD akan memotong rusuk FG di satu titik. Karena P adalah pertengahan AE, dan ABCD.EFGH adalah kubus, maka PF sejajar dengan DG (diagonal bidang ADGF). Namun, ini tidak langsung membantu menemukan titik potong pada FG.
    *   Kita perlu mencari bidang lain yang sejajar dengan PF atau sejajar dengan FD yang memotong kubus.
    *   Mari kita tinjau bidang PFD. Kita tahu P ada di AE. F ada di EFGH. D ada di ABCD.
    *   Perhatikan bidang ADGF. Ini adalah sebuah persegi panjang. P adalah pertengahan AE. FD adalah diagonal dari bidang EFGH.
    *   Kita perlu mencari perpotongan bidang PFD dengan rusuk-rusuk kubus lainnya selain AE, AD, EF, FG, DH, CG, AB, BC, GH, HE.
    *   Perhatikan bidang ABFE. P ada di AE.
    *   Perhatikan bidang DCGH. D ada di sana.
    *   Perhatikan bidang BCGF. F ada di sana.
    *   Perhatikan bidang ADHE. D ada di sana.
    *   Titik P ada pada rusuk AE. Titik D ada pada rusuk AD. Titik F ada pada rusuk EF.
    *   Bidang PFD akan memotong rusuk CG di suatu titik, sebut saja Q, dan rusuk HG di suatu titik, sebut saja R.
    *   Untuk menemukan Q pada CG: Perhatikan bidang CDHG. Bidang PFD akan memotong bidang CDHG. Karena P adalah pertengahan AE, dan AE sejajar DH, jarak P ke bidang DCGH sama dengan jarak E ke bidang DCGH yaitu 4 cm. Namun, kita perlu proyeksi P ke bidang DCGH.
    *   Cara yang lebih sistematis adalah dengan menggunakan vektor atau koordinat.
    *   Misalkan A = (0,0,0), B = (4,0,0), D = (0,4,0), E = (0,0,4).
    *   Maka P = (0, 2, 4) (pertengahan AE).
    *   D = (0, 4, 0).
      F = (4, 0, 4).
    *   Persamaan bidang yang melalui P, D, F dapat dicari.
    *   Vektor PD = D - P = (0-0, 4-2, 0-4) = (0, 2, -4).
    *   Vektor PF = F - P = (4-0, 0-2, 4-4) = (4, -2, 0).
    *   Vektor normal bidang = PD x PF = | i  j  k |
                                         | 0  2 -4 |
                                         | 4 -2  0 |
                                       = i(0 - 8) - j(0 - (-16)) + k(0 - 8)
                                       = -8i - 16j - 8k = (-8, -16, -8)
    *   Kita bisa gunakan vektor normal (1, 2, 1) (dibagi -8).
    *   Persamaan bidang: 1(x - 0) + 2(y - 4) + 1(z - 0) = 0
                           x + 2y - 8 + z = 0
                           x + 2y + z = 8

    *   Sekarang cari perpotongan bidang ini dengan rusuk-rusuk kubus.
      Rusuk AE: x=0, y=0. 0 + 2(0) + z = 8 => z = 8. Ini di luar kubus (AE hanya sampai z=4). Tapi P(0,2,4) sudah pada AE.
      Rusuk AD: x=0, z=0. 0 + 2y + 0 = 8 => y = 4. Ini titik D(0,4,0).
      Rusuk AB: y=0, z=0. x + 0 + 0 = 8 => x = 8. Ini di luar kubus (AB hanya sampai x=4).
      Rusuk EF: y=0, z=4. x + 0 + 4 = 8 => x = 4. Ini titik F(4,0,4).
      Rusuk EH: x=0, z=4. 0 + 2y + 4 = 8 => 2y = 4 => y = 2. Ini titik (0,2,4), yaitu P.
      Rusuk BF: x=4, y=0. 4 + 0 + z = 8 => z = 4. Ini titik F(4,0,4).
      Rusuk CG: x=4, z=0. 4 + 2y + 0 = 8 => 2y = 4 => y = 2. Titik (4,2,0). Sebut titik ini Q. Q ada pada rusuk CG.
      Rusuk DH: x=0, z=4. 0 + 2y + 4 = 8 => 2y = 4 => y = 2. Titik (0,2,4). Ini titik P.
      Rusuk FG: x=4, y=0. 4 + 0 + z = 8 => z = 4. Titik F(4,0,4).
      Rusuk GH: y=4, z=0. x + 2(4) + 0 = 8 => x + 8 = 8 => x = 0. Titik (0,4,0). Ini titik D.
      Rusuk BC: x=4, y=0. 4 + 0 + z = 8 => z = 4. Titik (4,0,4). Ini titik F.
      Rusuk CD: x=0, y=4. 0 + 2(4) + z = 8 => 8 + z = 8 => z = 0. Titik (0,4,0). Ini titik D.

    *   Titik-titik yang dilalui bidang PFD adalah:
        P = (0,2,4) pada AE
        D = (0,4,0) pada AD
        F = (4,0,4) pada EF dan BF
        Q = (4,2,0) pada CG
    *   Perpotongan bidang dengan rusuk-rusuk kubus:
        Bidang memotong AE di P (0,2,4).
        Bidang memotong AD di D (0,4,0).
        Bidang memotong EF di F (4,0,4).
        Bidang memotong CG di Q (4,2,0).
    *   Irisan bidang alpha dan kubus adalah segiempat PDFQ.

    *   Untuk menggambarkannya:
        1.  Gambar kubus ABCD.EFGH.
        2.  Tandai P di tengah AE.
        3.  Hubungkan P ke D.
        4.  Hubungkan D ke F.
        5.  Hubungkan F ke Q. Q adalah titik pada CG dengan jarak 2 cm dari C (atau 2 cm dari G).
        6.  Hubungkan Q ke P.
        7.  Irisannya adalah segiempat PDFQ. Bidang ini memotong rusuk AE di P, AD di D, FG tidak dipotong (hanya F), GH tidak dipotong, DH tidak dipotong, CG di Q, EF di F.

    *   Revisi titik potong:
        Bidang: x + 2y + z = 8
        Rusuk AE: x=0, y=0, 0<=z<=4. Maka z=8 (di luar).
        Rusuk DH: x=0, z=4, 0<=y<=4. 0 + 2y + 4 = 8 => 2y = 4 => y = 2. Titik P(0,2,4). Seharusnya ini P.
        Rusuk AD: x=0, z=0, 0<=y<=4. 0 + 2y + 0 = 8 => y = 4. Titik D(0,4,0).
        Rusuk EH: x=0, z=4, 0<=y<=4. 0 + 2y + 4 = 8 => y = 2. Titik P(0,2,4).
        Rusuk EF: y=0, z=4, 0<=x<=4. x + 0 + 4 = 8 => x = 4. Titik F(4,0,4).
        Rusuk BF: x=4, z=4, 0<=y<=4. 4 + 2y + 4 = 8 => 2y = 0 => y = 0. Titik F(4,0,4).
        Rusuk FG: x=4, y=0, 0<=z<=4. 4 + 0 + z = 8 => z = 4. Titik F(4,0,4).
        Rusuk CG: x=4, z=0, 0<=y<=4. 4 + 2y + 0 = 8 => 2y = 4 => y = 2. Titik Q(4,2,0).
        Rusuk BC: x=4, y=0, 0<=z<=4. 4 + 0 + z = 8 => z = 4. Titik (4,0,4). Ini F.
        Rusuk AB: y=0, z=0, 0<=x<=4. x + 0 + 0 = 8 => x = 8 (di luar).
        Rusuk CD: x=0, y=4, 0<=z<=4. 0 + 2(4) + z = 8 => 8 + z = 8 => z = 0. Titik D(0,4,0).
        Rusuk GH: y=4, z=0, 0<=x<=4. x + 2(4) + 0 = 8 => x + 8 = 8 => x = 0. Titik D(0,4,0).

    *   Titik-titik perpotongan bidang PFD dengan rusuk-rusuk kubus adalah P, D, F, dan Q.
        P pada AE.
        D pada AD.
        F pada EF.
        Q pada CG.
    *   Irisan bidang alpha dan kubus ABCD.EFGH adalah segiempat PDFQ.

    *   Untuk menggambarkannya:
        1.  Gambarkan kubus ABCD.EFGH dengan benar.
        2.  Tandai P sebagai titik tengah AE.
        3.  Hubungkan P dengan D.
        4.  Hubungkan D dengan F.
        5.  Tentukan titik Q pada CG sehingga Q berjarak 2 dari C (atau dari G). Q adalah titik tengah CG.
        6.  Hubungkan F dengan Q.
        7.  Hubungkan Q dengan P.
        8.  Sempurnakan gambar dengan garis-garis yang terlihat dan tidak terlihat (jika perlu).

    *   Deskripsi irisan: Irisan bidang alpha dengan kubus ABCD.EFGH adalah segiempat PDFQ, di mana P adalah titik tengah AE, D adalah salah satu titik sudut kubus, F adalah salah satu titik sudut kubus, dan Q adalah titik tengah CG.