Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. a.

Soal ini meminta perhitungan berbagai jarak dalam kubus. Jarak antara dua diagonal bersilangan (BD dan FH) adalah 6 cm. Jarak AE ke FG adalah 6 cm. Jarak AE ke BH adalah 6 cm. Jarak BE ke CDHG adalah 6 cm. Jarak EG ke ABCD adalah 6 cm. Bidang ACH sejajar BEG, dan jaraknya adalah 2√3 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

a.  **Jarak antara garis BD dengan garis FH**:
Garis BD dan FH adalah diagonal bidang yang saling bersilangan pada kubus. Jarak antara kedua garis ini sama dengan jarak antara titik B ke bidang ACGE (atau F ke bidang BDG), atau sama dengan panjang rusuk kubus jika kita memproyeksikan BD ke bidang yang tegak lurus dengannya. Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat jarak antara titik D ke garis FH atau jarak antara titik B ke garis FH. Atau, kita bisa memproyeksikan kedua garis ke bidang yang sama. Jarak antara dua garis bersilangan pada kubus adalah panjang rusuknya. Jadi, jaraknya adalah 6 cm.

b.  **Garis x melalui A sejajar EF, hitung jarak x dengan FH**:
Garis x melalui A dan sejajar EF berarti garis x adalah garis AE atau garis AD atau garis AB, tergantung pada orientasi. Jika kita mengasumsikan garis x melalui A dan sejajar EF, maka garis x adalah garis AB. Bidang ADGF tegak lurus dengan bidang EFGH. Garis FH terletak pada bidang EFGH. Garis AB sejajar dengan EF. Garis FH sejajar dengan BD. Jarak antara garis AB dan garis FH adalah jarak antara titik A ke garis FH atau titik B ke garis FH. Jarak terpendek dari titik A ke garis FH adalah jarak dari A ke proyeksi FH pada bidang yang mengandung A dan FH, atau lebih mudahnya, jarak dari A ke perpotongan diagonal pada bidang EFGH yang sejajar FH. Namun, AB sejajar EF. FH dan BD adalah diagonal yang bersilangan. Jarak antara garis yang sejajar dengan diagonal bidang (seperti EF) dan diagonal bidang lainnya (seperti FH) akan bergantung pada posisinya. Jika kita gambar bidang ABGH, maka FH sejajar BG. Jarak AB ke FH sama dengan jarak AD ke FH, yaitu 6 cm.

Cara lain: AB sejajar EF. FH terletak pada bidang EFGH. Bidang ADGF adalah bidang yang tegak lurus EFGH. Jarak antara garis x (yang sejajar EF melalui A) dan FH adalah jarak antara garis AB dan FH. Garis FH dan BD adalah diagonal bersilangan. Jarak antara garis sejajar bidang dan garis dalam bidang tersebut bisa rumit. Namun, jika kita mempertimbangkan bidang ADHE, maka AE tegak lurus EF. FH adalah diagonal di bidang EFGH. AB sejajar EF. Jarak antara garis AB dan garis FH adalah jarak antara titik A ke garis FH. Proyeksikan FH ke bidang ADHE. Proyeksi FH adalah DH. Jarak A ke DH adalah AD = 6 cm. Jaraknya adalah 6 cm.

c.  **Jarak antara garis AE dengan garis FG**:
Garis AE dan FG adalah rusuk yang sejajar dan terletak pada bidang yang berbeda (AE di ABCD.EFGH, FG di BCGF). Keduanya tegak lurus terhadap rusuk AB dan BC. Jarak antara AE dan FG adalah panjang rusuk AB atau BC, yaitu 6 cm.

d.  **Jarak antara garis AE dengan garis BH**:
Garis AE adalah rusuk vertikal, sedangkan BH adalah diagonal ruang. AE sejajar DH dan CG. BH menembus kubus. Untuk mencari jarak antara AE dan BH, kita dapat mencari jarak antara AE dan bidang BDHF yang mengandung BH. Jarak AE ke bidang BDHF sama dengan jarak titik A ke bidang BDHF. Proyeksikan A ke bidang BDHF, yaitu titik D. Jadi jarak AE ke BH sama dengan jarak AD yaitu 6 cm.

e.  **Jarak antara garis BE dan bidang CDHG**:
Garis BE adalah diagonal bidang ABFE. Bidang CDHG adalah bidang alas/tutup. Jarak terpendek dari titik B ke bidang CDHG adalah panjang rusuk BC atau BF (jika BCGH alasnya). Jika alasnya ABCD, maka jarak B ke bidang CDHG adalah BC = 6 cm. Karena BE terletak pada bidang ABFE yang tegak lurus bidang BCGF dan bidang ADHE, jarak BE ke bidang CDHG (yang sejajar BCGF) adalah jarak titik E ke bidang CDHG, yaitu rusuk EH = 6 cm, atau jarak titik B ke bidang CDHG yaitu rusuk BC = 6 cm.

f.  **Jarak antara garis EG dan bidang ABCD**:
Garis EG adalah diagonal bidang EFGH. Bidang ABCD adalah bidang alas. Jarak terpendek dari setiap titik pada EG ke bidang ABCD adalah sama dengan panjang rusuk AE atau BF atau CG atau DH, karena EG sejajar AB dan DC, dan tegak lurus bidang ADHE dan BCGF. Jadi, jarak EG ke bidang ABCD adalah 6 cm.

g.  **Bidang alpha melalui BH dan sejajar AC, hitung jarak AC ke alpha**:
AC adalah diagonal bidang ABCD. BH adalah diagonal ruang. Bidang alpha melalui BH dan sejajar AC. Bidang yang melalui BH dan sejajar AC adalah bidang BDHF. Jarak antara garis AC dan bidang BDHF adalah jarak antara titik A ke garis DH (jika A diproyeksikan ke bidang BDHF). Jarak AC ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak titik A ke perpotongan diagonal bidang BDHF, yaitu titik tengahnya. Atau, jarak antara garis AC ke bidang BDHF sama dengan jarak antara titik A ke garis DH jika diproyeksikan, atau jarak titik C ke garis BF. Jaraknya adalah panjang rusuk, yaitu 6 cm.

h.  **Tunjukkan bidang ACH sejajar bidang BEG, hitung jaraknya**:
Bidang ACH dibentuk oleh diagonal AC dan rusuk AH (atau CH). Bidang BEG dibentuk oleh diagonal EG dan rusuk BG (atau BE). Titik A(0,0,6), C(6,6,6), H(6,0,0). Titik B(0,0,0), E(0,6,6), G(6,6,0). Vektor normal bidang ACH: \(\vec{AC} = (6,6,0)\), \(\vec{AH} = (6,0,-6)\). Normal = \(\vec{AC} \times \vec{AH} = (6,6,0) \times (6,0,-6) = (-36, 36, -36)\) atau \((1,-1,1)\). Vektor normal bidang BEG: \(\vec{BE} = (0,6,6)\), \(\vec{BG} = (6,6,0)\). Normal = \(\vec{BE} \times \vec{BG} = (0,6,6) \times (6,6,0) = (-36, 36, -36)\) atau \((1,-1,1)\). Karena kedua bidang memiliki vektor normal yang sama, maka kedua bidang sejajar.

Jarak antara kedua bidang sejajar ACH dan BEG adalah jarak antara satu titik pada satu bidang ke bidang lainnya. Ambil titik A(0,0,6) pada bidang ACH. Bidang BEG melalui B(0,0,0), E(0,6,6), G(6,6,0). Persamaan bidang BEG adalah \(1(x-0) -1(y-0) + 1(z-0) = 0 \implies x-y+z=0\). Jarak dari A(0,0,6) ke bidang \(x-y+z=0\) adalah: |(0) - (0) + (6)| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = |6| / sqrt(3) = 6/sqrt(3) = 2*sqrt(3) cm.