Semua bilangan real x yang memenuhi (x^2-4)/(1-x^2)>2

x < -√2 atau -1 < x < 1 atau 1 < x < √2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x^2-4}{1-x^2} > 2$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama:

$\frac{x^2-4}{1-x^2} - 2 > 0$

$\frac{x^2-4 - 2(1-x^2)}{1-x^2} > 0$

$\frac{x^2-4 - 2 + 2x^2}{1-x^2} > 0$

$\frac{3x^2-6}{1-x^2} > 0$

Kita bisa memfaktorkan pembilang dan penyebut:

$\frac{3(x^2-2)}{(1-x)(1+x)} > 0$

$\frac{3(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{(1-x)(1+x)} > 0$

Sekarang kita perlu menentukan interval di mana ekspresi ini positif. Titik-titik kritisnya adalah $x = \sqrt{2}$, $x = -\sqrt{2}$, $x = 1$, dan $x = -1$. 

Kita uji nilai di setiap interval:

1. $x < -\sqrt{2}$ (misal x = -2): $\frac{3(-)(-)}{(-)(+)} = \frac{+}{+} = +$ (Positif)
2. $-\sqrt{2} < x < -1$ (misal x = -1.2): $\frac{3(-)(+)}{(-)(+)} = \frac{-}{+} = -$ (Negatif)
3. $-1 < x < 1$ (misal x = 0): $\frac{3(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} = +$ (Positif)
4. $1 < x < \sqrt{2}$ (misal x = 1.2): $\frac{3(-)(+)}{(-)(+)} = \frac{-}{+} = -$ (Negatif)
5. $x > \sqrt{2}$ (misal x = 2): $\frac{3(+)(+)}{(-)(+)} = \frac{+}{-} = -$ (Negatif)

Pertidaksamaan terpenuhi ketika ekspresi bernilai positif. Oleh karena itu, solusi untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

$x < -\sqrt{2}$ atau $-1 < x < 1$ atau $1 < x < \sqrt{2}$

Dalam notasi interval, solusinya adalah $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{2})$.