Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika a

$$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Pembahasan

Misalkan kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk $a$. Kita ingin mencari sudut $\alpha$ antara garis CG dan bidang BED. 

Garis CG tegak lurus dengan bidang ABCD. Bidang BED juga merupakan bidang diagonal dari kubus. 

Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari garis pada bidang yang tegak lurus dengan proyeksi garis tersebut pada bidang itu. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan memanfaatkan sifat simetri kubus atau dengan menggunakan vektor. 

Misalkan kita letakkan titik C di (0, 0, 0), G di (0, 0, a). 
Bidang BED dibentuk oleh titik B=(a, 0, 0), E=(a, a, 0), dan D=(0, a, 0). 

Cara lain: 
Perhatikan bahwa garis CG sejajar dengan garis BF. Sudut antara garis CG dan bidang BED sama dengan sudut antara garis BF dan bidang BED. 

Proyeksi garis BF pada bidang BED adalah garis BD. Jadi, sudut $\alpha$ adalah sudut antara garis BF dan garis BD. 

Dalam segitiga siku-siku BDF (di mana F adalah titik sudut), kita memiliki: 
BF = $a$ (rusuk kubus) 
BD = $a\sqrt{2}$ (diagonal sisi) 
DF = $a\sqrt{3}$ (diagonal ruang) 

Segitiga BDF adalah segitiga siku-siku di B. 
Kita mencari sudut antara BF dan BD. 

Menggunakan definisi tangen dalam segitiga siku-siku BDF, kita punya: 
$$\tan(\alpha) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{BF}{BD}$$ 
$$ \tan(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 

Jadi, $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.