Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. P dan Q

Jarak R ke bidang EPQH adalah $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk a.
P adalah titik tengah AB, Q adalah titik tengah CD, dan R adalah titik perpotongan diagonal EG dan FH pada bidang EFGH.
Bidang EPQH adalah bidang yang dibentuk oleh titik-titik E, P, Q, H.
Untuk mencari jarak dari titik R ke bidang EPQH, kita perlu mencari jarak proyeksi R ke bidang tersebut.
Karena R adalah pusat dari bidang EFGH (perpotongan diagonal), dan bidang EPQH sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH, jarak R ke bidang EPQH sama dengan setengah dari tinggi kubus jika kita menganggap bidang EPQH sebagai bidang dasar.
Namun, perlu diperjelas posisi bidang EPQH relatif terhadap R.

Jika kita melihat dari samping, PQ sejajar dengan EH dan FG. Jarak antara PQ dan EH adalah a/2.
Titik R berada di tengah-tengah rusuk HG dan EF.
Jarak titik R ke bidang EPQH adalah jarak R ke garis PQ pada proyeksi bidang alas atau bidang atas.

Mari kita gunakan sistem koordinat. Misalkan A=(0,0,0), B=(a,0,0), D=(0,a,0), E=(0,0,a).
C=(a,a,0), F=(a,0,a), G=(a,a,a), H=(0,a,a).
P adalah titik tengah AB, jadi P = (a/2, 0, 0).
Q adalah titik tengah CD, jadi Q = (a/2, a, 0).
R adalah titik tengah EG, jadi R = (a/2, a/2, a).

Bidang EPQH dibentuk oleh titik E=(0,0,a), P=(a/2, 0, 0), Q=(a/2, a, 0), H=(0,a,a).
Normal vektor untuk bidang EPQH dapat dicari dengan mengambil cross product dari vektor EP dan EQ.
EP = P - E = (a/2, 0, -a)
EQ = Q - E = (a/2, a, -a)

Normal = EP x EQ = 
| i   j   k  |
| a/2 0  -a |
| a/2 a  -a |
= i(0 - (-a^2)) - j(-a^2/2 - (-a^2/2)) + k(a^2/2 - 0)
= a^2 i + 0 j + a^2/2 k
= (a^2, 0, a^2/2)
Kita bisa gunakan normal vektor (2, 0, 1).

Persamaan bidang EPQH: 2x + 0y + 1z = d.
Karena E=(0,0,a) ada di bidang, maka 2(0) + 0 + 1(a) = d, sehingga d=a.
Persamaan bidang adalah 2x + z = a.

Jarak dari titik R=(a/2, a/2, a) ke bidang 2x + z - a = 0 adalah:
Jarak = |2(a/2) + (a) - a| / sqrt(2^2 + 0^2 + 1^2)
Jarak = |a + a - a| / sqrt(4 + 0 + 1)
Jarak = |a| / sqrt(5)
Jarak = a / sqrt(5) = a√5 / 5