Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Pembahasan

Untuk menentukan kosinus sudut antara garis CG dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasi Kubus:** Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Garis CG adalah salah satu rusuk tegak kubus. Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG.

2.  **Tentukan Vektor:**
    *   Misalkan titik C sebagai titik asal (0,0,0). Maka:
        *   G = (0, 10, 10)
        *   B = (10, 10, 0)
        *   D = (10, 0, 0)
    *   Vektor CG dapat diwakili oleh vektor $\vec{CG} = G - C = (0, 10, 10)$.
    *   Vektor yang tegak lurus bidang BDG (vektor normal bidang) dapat dicari dengan perkalian silang antara vektor $\vec{DB}$ dan $\vec{DG}$ (atau vektor lain yang membentuk bidang tersebut).
        *   $\vec{DB} = B - D = (10, 10, 0) - (10, 0, 0) = (0, 10, 0)$.
        *   $\vec{DG} = G - D = (0, 10, 10) - (10, 0, 0) = (-10, 10, 10)$.
        *   Vektor normal bidang (misalkan $\vec{n}$) = $\vec{DB} \times \vec{DG}$.
            $\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 10 & 0 \\ -10 & 10 & 10 \end{vmatrix} = i(100 - 0) - j(0 - 0) + k(0 - (-100)) = 100i + 0j + 100k = (100, 0, 100)$.
            Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (1, 0, 1) untuk kemudahan perhitungan.

3.  **Hitung Kosinus Sudut:** Sudut $\theta$ antara garis CG (vektor $\vec{CG}$) dan bidang BDG adalah sudut antara vektor $\vec{CG}$ dan vektor normal bidang $\vec{n}$. Kosinus dari sudut komplementer inilah yang kita cari. Rumus kosinus sudut antara dua vektor adalah:
    $\,\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$  
    Di sini, $\vec{a} = \vec{CG} = (0, 10, 10)$ dan $\vec{b} = \vec{n} = (1, 0, 1)$.
    *   $\vec{CG} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (10)(0) + (10)(1) = 0 + 0 + 10 = 10$.
    *   $|\vec{CG}| = \sqrt{0^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{0 + 100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
    *   $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
    *   $\,\cos \alpha = \frac{|10|}{(10\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{10}{10 \times 2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
    Karena $\alpha$ adalah sudut antara vektor $\vec{CG}$ dan vektor normal bidang $\vec{n}$, maka kosinus sudut antara garis CG dan bidang BDG adalah $\,\sin \theta = \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

    **Penting:** Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang tersebut. Jika $\alpha$ adalah sudut antara garis dan normal bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah $90^\circ - \alpha$. Jadi, $\,\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

    Mari kita tinjau ulang pendekatan vektor normal bidang. Garis CG tegak lurus terhadap bidang alas ABCD. Bidang BDG memuat diagonal alas BD. Mari kita gunakan sudut antara CG dan BD.
    Alternatif: Gunakan proyeksi titik G pada bidang BDG. Titik C adalah titik pada garis CG. Proyeksi C pada bidang BDG adalah titik potong diagonal alas, yaitu pusat persegi alas. Misalkan pusatnya adalah O. Maka sudut yang dicari adalah sudut antara CG dan GO. Segitiga CGO adalah segitiga siku-siku di C. CG = 10. CO = setengah diagonal alas = setengah dari $10\sqrt{2}$ = $5\sqrt{2}$.
    $\,\cos(\angle CGO) = \frac{CG}{GO} = \frac{10}{\sqrt{10^2 + (5\sqrt{2})^2}} = \frac{10}{\sqrt{100 + 50}} = \frac{10}{\sqrt{150}} = \frac{10}{5\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
    Sudut yang dicari adalah sudut antara garis CG dan bidang BDG. Ini sama dengan sudut antara CG dan proyeksinya pada bidang BDG. Proyeksi G pada bidang BDG adalah G sendiri. Proyeksi C pada bidang BDG adalah titik O (pusat persegi ABCD). Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara garis CG dan garis GO, yaitu $\angle CGO$. Namun, ini tidak tepat karena GO tidak selalu tegak lurus CG.

    Mari gunakan definisi kosinus sudut antara garis dan bidang: $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$, di mana $\theta$ adalah sudut antara garis dan bidang, $\vec{v}$ adalah vektor arah garis, dan $\vec{n}$ adalah vektor normal bidang.
    Kita sudah punya $\vec{v} = \vec{CG} = (0, 10, 10)$ dan $\vec{n} = (1, 0, 1)$ (vektor normal bidang BDG).
    $|\vec{v}| = 10\sqrt{2}$, $|\vec{n}| = \sqrt{2}$, $\vec{v} \cdot \vec{n} = 10$.
    $\,\sin \theta = \frac{|10|}{(10\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
    Jika $\,\sin \theta = 1/2$, maka $\theta = 30^\circ$.
    Yang ditanya adalah kosinus sudut antara garis CG dan bidang BDG, yaitu $\,\cos \theta = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

    **Jawaban yang benar adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$.**