Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal

Luasnya adalah $\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$.

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 'a'. Bidang datar dibuat melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dan CG. Titik tengah AE kita sebut P, dan titik tengah CG kita sebut Q. Bidang yang terbentuk adalah DP FQ. Bidang ini memotong rusuk AB di titik M dan rusuk HG di titik N. Bidang DP FQ ini berbentuk persegipanjang DP FQ. Panjang DP adalah $\sqrt{AD^2 + AP^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Panjang PF adalah rusuk kubus, yaitu a. Luas bidang DP FQ adalah DP * PF = $\frac{a\sqrt{5}}{2} * a = \frac{a^2\sqrt{5}}{2}$. Namun, perlu diperhatikan bahwa bidang tersebut memotong kubus. Bidang DP FQ ini sebenarnya adalah sebuah persegipanjang dengan sisi DP dan DF, atau sisi DP dan PQ. Jika bidang dibuat melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE (misal P) dan CG (misal Q), maka bidangnya adalah DP FQ. Jarak D ke F adalah diagonal ruang, yaitu $a\sqrt{3}$. Panjang DP = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Bidang ini sejajar dengan rusuk AD dan BC. Luas bidang di dalam kubus adalah luas persegipanjang DP FQ. Namun, interpretasi yang lebih umum adalah bidang yang dibentuk oleh titik D, F, dan titik-titik pada rusuk AE dan CG. Jika bidang memotong AE di P dan CG di Q, maka bidangnya adalah DP FQ. Panjang DP = $arac{\sqrt{5}}{2}$. Panjang PF = $a$. Luasnya adalah $a 	imes arac{\sqrt{5}}{2} = rac{a^2\[5pt]\]}{2}$. Akan tetapi, jika bidang dibuat melalui diagonal DF dan sejajar dengan rusuk AE dan CG, maka bidang tersebut adalah DCHG yang merupakan salah satu muka kubus, luasnya $a^2$. Soal ini membutuhkan visualisasi yang tepat. Bidang yang dibentuk oleh diagonal DF dan titik tengah rusuk AE (P) dan CG (Q) adalah bidang DPFQ. Segitiga ADP siku-siku di A, maka $DP = \sqrt{AD^2 + AP^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Segitiga CGF siku-siku di G, maka $FQ = \sqrt{FG^2 + GQ^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Rusuk FG = a. Maka luas bidang DPFQ adalah luas trapesium DPFQ. Ini adalah persegipanjang DPCG jika P dan Q adalah titik C dan G. Dalam kasus ini, bidang DP FQ adalah trapesium. Perlu diklarifikasi bidang apa yang dimaksud. Asumsi yang paling masuk akal adalah bidang yang memotong rusuk AE di P dan CG di Q, sehingga membentuk bidang DPFQ. Ini adalah trapesium siku-siku. Namun, jika bidangnya dibentuk oleh diagonal DF dan garis yang menghubungkan titik tengah AE dan CG, maka bidangnya adalah persegipanjang. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan luas persegipanjang DP FQ jika D, P, F, Q membentuk persegipanjang. Panjang DP = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Panjang PF = a. Luasnya $\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$. Jika bidang melalui diagonal DF dan tegak lurus terhadap diagonal tersebut, ini masalah berbeda. Dengan asumsi bidang DPFQ adalah persegipanjang, luasnya adalah $\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$. Jika bidang tersebut adalah irisan, maka luasnya adalah luas persegipanjang dengan sisi $a$ dan $a \sqrt{2}$ (diagonal AC) atau $a$ dan $a\sqrt{5}/2$. Bidang yang melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dan CG. Maka bidangnya adalah persegipanjang P Q F D. PQ sejajar AE dan CG. PQ = AD = a. DP = $\sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Luas persegipanjang adalah $a 	imes \frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{a^2\sqrt{5}}{2}$.