Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm.

$3ec{\sqrt{6}}$ cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik G ke diagonal BE pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau teorema Pythagoras dalam ruang.

Misalkan titik B sebagai pusat koordinat (0,0,0). Maka koordinat titik-titik adalah:
B = (0,0,0)
E = (6,0,0)
A = (0,6,0)
C = (0,0,6)
G = (6,6,6)

Panjang rusuk kubus adalah s = 6 cm.

Diagonal BE memiliki vektor $\vec{BE} = E - B = (6,0,0) - (0,0,0) = (6,0,0)$.

Titik G memiliki koordinat (6,6,6).

Jarak dari titik G ke garis BE adalah panjang proyeksi vektor $\vec{BG}$ ke vektor normal dari BE.
Alternatif lain, kita bisa menggunakan luas segitiga.

Perhatikan segitiga BCG. BC = 6, CG = 6, BG = diagonal sisi = $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Sekarang perhatikan segitiga BGE. BE = $6\sqrt{2}$, BG = $6\sqrt{2}$, GE = 6.

Misalkan kita ingin mencari jarak dari G ke diagonal BE. Kita dapat memproyeksikan titik G ke garis BE. Namun, perlu diingat bahwa BE adalah diagonal ruang jika kita mempertimbangkan ABCD.EFGH dengan benar. Jika BE adalah diagonal ruang, maka B=(0,0,0) dan E=(6,6,6), sehingga G=(6,0,0) atau titik lain tergantung penamaan.

Mari kita asumsikan penamaan kubus standar:
A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6).

Diagonal BE menghubungkan B(6,0,0) dan E(0,0,6). Vektor $\vec{BE} = E - B = (0-6, 0-0, 6-0) = (-6, 0, 6)$.
Titik G memiliki koordinat (6,6,6).

Jarak titik G ke garis BE dapat dihitung dengan rumus jarak titik ke garis dalam ruang.
Misalkan P adalah titik pada garis BE sehingga GP tegak lurus BE.
P dapat dinyatakan sebagai $P = B + t \\\vec{BE} = (6,0,0) + t(-6,0,6) = (6-6t, 0, 6t)$.
Vektor $\vec{GP} = P - G = (6-6t - 6, 0 - 6, 6t - 6) = (-6t, -6, 6t-6)$.

Syarat tegak lurus: $\vec{GP} \\\cdot ec{BE} = 0$
$(-6t, -6, 6t-6) ec{-6, 0, 6} = 0$
$(-6t)(-6) + (-6)(0) + (6t-6)(6) = 0$
$36t + 0 + 36t - 36 = 0$
$72t = 36$
$t = 36/72 = 1/2$.

P = $(6 - 6(1/2), 0, 6(1/2)) = (6-3, 0, 3) = (3, 0, 3)$.

Jarak GP = $||ec{GP}||$
$ec{GP} = (-6(1/2), -6, 6(1/2)-6) = (-3, -6, 3-6) = (-3, -6, -3)$.
$||ec{GP}|| = ec{\sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (-3)^2}} = ec{\sqrt{9 + 36 + 9}} = ec{\sqrt{54}} = ec{3ec{\sqrt{6}}}$ cm.

Jawaban ringkas: $3ec{\sqrt{6}}$ cm.