Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.

Himpunan penyelesaiannya adalah $(-1, 1) igcup (3, 5)$.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-2|^2 - 4|x-2| + 3 < 0$, kita dapat melakukan substitusi dengan memisalkan $y = |x-2|$.

Pertidaksamaan menjadi $y^2 - 4y + 3 < 0$.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu dengan memfaktorkan:
$(y-1)(y-3) < 0$.

Ini berarti nilai $y$ berada di antara 1 dan 3, yaitu $1 < y < 3$.

Sekarang, kita substitusikan kembali $y = |x-2|$:
$1 < |x-2| < 3$.

Pertidaksamaan ini dapat dipecah menjadi dua bagian:
1. $|x-2| > 1$
2. $|x-2| < 3$

Untuk $|x-2| > 1$, kita punya dua kemungkinan:
   a. $x-2 > 1 
ightarrow x > 3$
   b. $x-2 < -1 
ightarrow x < 1$

Untuk $|x-2| < 3$, kita punya:
   $-3 < x-2 < 3$
   $-3+2 < x < 3+2$
   $-1 < x < 5$

Sekarang kita perlu mencari irisan dari kedua kondisi tersebut. Irisan dari ($x < 1$ atau $x > 3$) dan ($-1 < x < 5$) adalah:
$(-1 < x < 1)$ atau $(3 < x < 5)$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(-1, 1) igcup (3, 5)$.