Carilah himpunan penyelesaian dari tiap berikut ini,

Himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), (2, 2)}.

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear kuadrat (SPLK) $x - y = 0$ dan $y = -x^2 + 3x$, kita perlu menemukan titik-titik $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Persamaan 1: $x - y = 0 \Rightarrow y = x$
Persamaan 2: $y = -x^2 + 3x$

Karena kedua persamaan sama-sama menyatakan $y$, kita dapat menyamakan kedua persamaan tersebut:
$x = -x^2 + 3x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
$x^2 + x - 3x = 0$
$x^2 - 2x = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$x(x - 2) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk $x$:
1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai $x$ ini kembali ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai $y$. Kita gunakan persamaan yang lebih sederhana, yaitu $y = x$.

*   Jika $x = 0$, maka $y = 0$.
    Titik penyelesaian pertama adalah (0, 0).

*   Jika $x = 2$, maka $y = 2$.
    Titik penyelesaian kedua adalah (2, 2).

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLK ini adalah {(0, 0), (2, 2)}.

**Tafsiran Geometris:**
Persamaan $y = x$ adalah persamaan garis lurus yang melalui titik asal (0,0) dengan gradien 1.
Persamaan $y = -x^2 + 3x$ adalah persamaan parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien $x^2$ negatif. Untuk menemukan titik potong parabola dengan sumbu-x, kita atur $y=0$: $0 = -x^2 + 3x \Rightarrow x(-x+3)=0 \Rightarrow x=0$ atau $x=3$. Jadi, parabola memotong sumbu-x di (0,0) dan (3,0).

Penyelesaian sistem persamaan $(0,0)$ dan $(2,2)$ berarti garis $y=x$ memotong parabola $y = -x^2 + 3x$ di dua titik tersebut. Titik-titik ini adalah perpotongan antara garis dan parabola pada grafik.

Sketsa Grafik:
1. Gambar garis $y=x$ yang melalui (0,0) dan (2,2).
2. Gambar parabola $y = -x^2 + 3x$ yang melalui (0,0), (3,0), dan (2,2). Puncak parabola dapat ditemukan dengan $x = -b/(2a) = -3/(2 	imes -1) = 1.5$. Nilai y di puncak adalah $y = -(1.5)^2 + 3(1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Jadi, puncak parabola ada di (1.5, 2.25).
Kedua grafik akan berpotongan di titik (0,0) dan (2,2).