Seorang petani memerlukan paling sedikit 48 unit zat kimia

Pengeluaran minimum petani adalah Rp396.000,00.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya pembelian pupuk.

Misalkan:
$x$ = jumlah kantong pupuk jenis I
$y$ = jumlah kantong pupuk jenis II

Kebutuhan zat kimia:
Zat A: $4x + 3y \ge 48$
Zat B: $3x + 5y \ge 60$

Fungsi tujuan (biaya) yang ingin diminimalkan:
$C(x, y) = 33000x + 44000y$

Kita perlu mencari nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kedua pertidaksamaan di atas dan menghasilkan nilai $C(x, y)$ minimum.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. **Tentukan titik potong dari pertidaksamaan:**
   Untuk $4x + 3y = 48$:
   Jika $x = 0$, maka $3y = 48 \Rightarrow y = 16$. Titik (0, 16)
   Jika $y = 0$, maka $4x = 48 \Rightarrow x = 12$. Titik (12, 0)

   Untuk $3x + 5y = 60$:
   Jika $x = 0$, maka $5y = 60 \Rightarrow y = 12$. Titik (0, 12)
   Jika $y = 0$, maka $3x = 60 \Rightarrow x = 20$. Titik (20, 0)

2. **Cari titik potong kedua garis:**
   $4x + 3y = 48$  (kalikan 5) $\rightarrow 20x + 15y = 240$
   $3x + 5y = 60$  (kalikan 3) $\rightarrow 9x + 15y = 180$
   Kurangkan kedua persamaan:
   $(20x + 15y) - (9x + 15y) = 240 - 180$
   $11x = 60 \Rightarrow x = \frac{60}{11}$

   Substitusikan $x = \frac{60}{11}$ ke salah satu persamaan, misal $3x + 5y = 60$:
   $3(\frac{60}{11}) + 5y = 60$
   $\frac{180}{11} + 5y = 60$
   $5y = 60 - \frac{180}{11}$
   $5y = \frac{660 - 180}{11}$
   $5y = \frac{480}{11}$
   $y = \frac{480}{5 \times 11} = \frac{96}{11}$

   Jadi, titik potongnya adalah $(\frac{60}{11}, \frac{96}{11})$.

3. **Evaluasi fungsi tujuan di titik-titik sudut yang memenuhi:**
   Titik sudut yang perlu dipertimbangkan adalah (0, 16), (12, 0), dan $(\frac{60}{11}, \frac{96}{11})$.

   *   Di titik (0, 16):
       $C = 33000(0) + 44000(16) = 704000$

   *   Di titik (12, 0):
       $C = 33000(12) + 44000(0) = 396000$

   *   Di titik $(\frac{60}{11}, \frac{96}{11})$:
       $C = 33000(\frac{60}{11}) + 44000(\frac{96}{11})$
       $C = 3000 \times 60 + 4000 \times 96$
       $C = 180000 + 384000$
       $C = 564000$

4. **Bandingkan nilai biaya:**
   Nilai biaya minimum adalah Rp396.000,00 yang terjadi saat petani membeli 12 kantong pupuk jenis I dan 0 kantong pupuk jenis II.