Diketahui Kubus ABCD.EFGH, rusuk=4 akar(2), titik P dan Q

8√7 / 7

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung jarak antara dua garis dalam ruang pada sebuah kubus.

Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH
Panjang rusuk = $4\sqrt{2}$
P adalah titik tengah rusuk EH
Q adalah titik tengah rusuk AD

Kita perlu menghitung jarak antara garis AP dan garis DF.

Langkah 1: Tetapkan sistem koordinat.
Misalkan titik A sebagai titik asal (0, 0, 0).
Rusuk AB sejajar sumbu x, rusuk AD sejajar sumbu y, dan rusuk AE sejajar sumbu z.

Koordinat titik-titik sudut:
A = (0, 0, 0)
B = ($4\sqrt{2}$, 0, 0)
C = ($4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$, 0)
D = (0, $4\sqrt{2}$, 0)
E = (0, 0, $4\sqrt{2}$)
F = ($4\sqrt{2}$, 0, $4\sqrt{2}$)
G = ($4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$)
H = (0, $4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$)

Langkah 2: Tentukan koordinat titik P dan Q.
P adalah titik tengah EH.
E = (0, 0, $4\sqrt{2}$)
H = (0, $4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$)
P = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4\sqrt{2}}{2}, \frac{4\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}) = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$

Q adalah titik tengah AD.
A = (0, 0, 0)
D = (0, $4\sqrt{2}$, 0)
Q = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 2\sqrt{2}, 0)$

Langkah 3: Tentukan vektor arah untuk garis AP dan DF.
Garis AP melalui titik A(0, 0, 0) dan P(0, $2\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$).
Vektor $\vec{AP} = P - A = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$.

Garis DF melalui titik D(0, $4\sqrt{2}$, 0) dan F($4\sqrt{2}$, 0, $4\sqrt{2}$).
Vektor $\vec{DF} = F - D = (4\sqrt{2}-0, 0-4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}-0) = (4\sqrt{2}, -4\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$.

Kita bisa menyederhanakan vektor $\vec{DF}$ dengan membagi dengan $4\sqrt{2}$, sehingga vektor arahnya menjadi $u = (1, -1, 1)$.

Langkah 4: Hitung jarak antara dua garis.
Jarak antara dua garis skew (tidak sejajar dan tidak berpotongan) diberikan oleh rumus:
$d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Di sini, $\vec{a_1}$ adalah vektor posisi salah satu titik pada garis pertama (misalnya, A), $\vec{a_2}$ adalah vektor posisi salah satu titik pada garis kedua (misalnya, D).
$\vec{u}$ adalah vektor arah garis pertama (AP), dan $\vec{v}$ adalah vektor arah garis kedua (DF).

$\vec{a_1} = A = (0, 0, 0)$
$\vec{a_2} = D = (0, 4\sqrt{2}, 0)$
$\vec{u} = \vec{AP} = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$
$\vec{v} = (1, -1, 1)$ (vektor arah yang disederhanakan dari DF)

Hitung hasil kali silang $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 2\sqrt{2} & 4\sqrt{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= i((2\sqrt{2})(1) - (4\sqrt{2})(-1)) - j((0)(1) - (4\sqrt{2})(1)) + k((0)(-1) - (2\sqrt{2})(1))$
$= i(2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) - j(-4\sqrt{2}) + k(-2\sqrt{2})$
$= 6\sqrt{2}i + 4\sqrt{2}j - 2\sqrt{2}k$
$= (6\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$

Hitung magnitudo dari hasil kali silang:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2}$
$= \sqrt{(36*2) + (16*2) + (4*2)}$
$= \sqrt{72 + 32 + 8}$
$= \sqrt{112}$
$= \sqrt{16 * 7} = 4\sqrt{7}$

Hitung selisih vektor $(\vec{a_2} - \vec{a_1})$:
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (0, 4\sqrt{2}, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4\sqrt{2}, 0)$

Hitung hasil kali titik $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(0, 4\sqrt{2}, 0) \cdot (6\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$
$= (0)(6\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})(4\sqrt{2}) + (0)(-2\sqrt{2})$
$= 0 + (16*2) + 0 = 32$

Hitung jaraknya:
$d = \frac{|32|}{|4\sqrt{7}|} = \frac{32}{4\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$

Rasionalkan penyebutnya:
$d = \frac{8}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

Jadi, jarak antara garis AP dan garis DF adalah $\frac{8\sqrt{7}}{7}$.

Validasi dengan pendekatan geometris:
Garis AP terletak pada bidang ADHE. Vektor AP = (0, $2\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$).
Garis DF adalah diagonal ruang. Vektor DF = ($4\sqrt{2}$, $-4\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$).

Perhatikan bahwa garis AP sejajar dengan AE (karena A dan P memiliki koordinat x=0). 
Perhatikan juga bahwa rusuk AE sejajar dengan rusuk DH dan BF.

Mari kita periksa apakah garis AP dan DF sejajar atau berpotongan. Dari vektor arahnya, jelas tidak sejajar. Untuk berpotongan, harus ada titik potong. 

Apabila kita memproyeksikan garis DF ke bidang yang tegak lurus terhadap AP, atau sebaliknya. Ini bisa menjadi rumit.

Alternatif: Gunakan konsep bidang yang melalui salah satu garis dan sejajar dengan garis lainnya.

Bidang yang melalui DF dan sejajar AP. 
Titik D = (0, $4\sqrt{2}$, 0)
Titik F = ($4\sqrt{2}$, 0, $4\sqrt{2}$)
Vektor arah AP = $u = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$

Normal vektor bidang ini adalah hasil kali silang dari vektor arah DF dan AP.
Normal $n = u \times \vec{DF} = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) \times (4\sqrt{2}, -4\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$
Kita sudah hitung ini sebelumnya: $n = (6\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.
Kita bisa sederhanakan normal vektor menjadi $n' = (3, 2, -1)$.

Persamaan bidang yang melalui D(0, $4\sqrt{2}$, 0) dengan normal $n'$:
$3(x-0) + 2(y-4\sqrt{2}) - 1(z-0) = 0$
$3x + 2y - 8\sqrt{2} - z = 0$
$3x + 2y - z = 8\sqrt{2}$

Sekarang, hitung jarak dari titik A(0, 0, 0) ke bidang ini.
Jarak = $\frac{|3(0) + 2(0) - 1(0) - 8\sqrt{2}|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}}$
Jarak = $\frac{|-8\sqrt{2}|}{\sqrt{9 + 4 + 1}}$
Jarak = $\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{14}}$
Jarak = $\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{7}}$
Jarak = $\frac{8}{\sqrt{7}}$
Jarak = $\frac{8\sqrt{7}}{7}$.

Hasilnya konsisten.

Perlu diperhatikan bahwa Q (titik tengah AD) digunakan untuk mendefinisikan vektor arah AP. AP sendiri adalah garis dari titik A ke P. Soal menanyakan jarak garis AP ke garis DF. Titik Q tidak secara langsung terlibat dalam definisi garis AP atau DF.

Jika soal menanyakan jarak garis PQ ke garis DF, maka PQ = (0, 0, 0) - (0, $2\sqrt{2}$, 0) = (0, $-2\sqrt{2}$, 0). Vektor arahnya (0, -1, 0). 

Mari kita pastikan lagi definisi P dan Q.
P tengah EH. E=(0,0,4√2), H=(0,4√2,4√2). P = (0, 2√2, 4√2).
Q tengah AD. A=(0,0,0), D=(0,4√2,0). Q = (0, 2√2, 0).

Sepertinya soal bertanya jarak garis AP ke garis DF. Titik Q tidak relevan untuk soal ini, kecuali jika ada kesalahan pengetikan dan seharusnya menggunakan garis PQ.

Jika kita menggunakan garis PQ:
Vektor $\vec{PQ} = Q - P = (0, 2\sqrt{2}, 0) - (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) = (0, 0, -4\sqrt{2})$. Vektor arah $w = (0, 0, -1)$.
Garis DF: $D=(0, 4\sqrt{2}, 0)$, $F=(4\sqrt{2}, 0, 4\sqrt{2})$. Vektor arah $v = (1, -1, 1)$.

Jarak antara PQ dan DF:
$d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (w \times v)|}{|w \times v|}$
$\vec{a_1} = P = (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$
$\vec{a_2} = D = (0, 4\sqrt{2}, 0)$
$w = (0, 0, -1)$
$v = (1, -1, 1)$

$w \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= i(0 - 1) - j(0 - (-1)) + k(0 - 0)$
$= -i - j = (-1, -1, 0)$

$|w \times v| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (0, 4\sqrt{2}, 0) - (0, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) = (0, 2\sqrt{2}, -4\sqrt{2})$

$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (w \times v) = (0, 2\sqrt{2}, -4\sqrt{2}) \cdot (-1, -1, 0)$
$= (0)(-1) + (2\sqrt{2})(-1) + (-4\sqrt{2})(0)$
$= 0 - 2\sqrt{2} + 0 = -2\sqrt{2}$

Jarak = $\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

Ini adalah jarak yang berbeda. Berdasarkan soal asli, "rusuk=4 akar(2), titik P dan Q tengah-tengah EH dan AD, Hitunglah jarak: garis AP ke garis DF". Maka kita ikuti perhitungan untuk garis AP ke garis DF.

Jadi, jarak garis AP ke garis DF adalah $\frac{8\sqrt{7}}{7}$.