Diketahui limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 4

Nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah √138 / 12.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC pada limas beraturan T.ABC, kita perlu mengidentifikasi sudut tersebut dan menggunakan trigonometri.

Limas beraturan T.ABC berarti alasnya (ABC) adalah segitiga sama sisi, dan sisi-sisi tegaknya (TAB, TBC, TAC) adalah segitiga sama kaki yang kongruen.

Diketahui:
-   Panjang rusuk alas (AB = BC = AC) = 4 cm
-   Panjang rusuk tegak (TA = TB = TC) = 6 cm

Sudut antara dua bidang adalah sudut di antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut pada satu titik.

Garis potong antara bidang TAB dan bidang ABC adalah garis AB.

1.  **Tarik garis tinggi dari T ke AB pada bidang TAB.** Misalkan M adalah titik tengah AB. Karena T.ABC adalah limas beraturan, TM tegak lurus AB. Panjang TM adalah tinggi segitiga T.AB.
    Dalam segitiga TMB (siku-siku di M), TB = 6 cm dan MB = AB/2 = 4/2 = 2 cm.
    Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TMB:
    TM^2 + MB^2 = TB^2
    TM^2 + 2^2 = 6^2
    TM^2 + 4 = 36
    TM^2 = 32
    TM = √32 = 4√2 cm.

2.  **Tarik garis tinggi dari T ke AB pada bidang ABC.** Misalkan O adalah titik pusat segitiga sama sisi ABC (yang juga merupakan titik berat dan titik tinggi). Garis TO tegak lurus bidang ABC, sehingga TO tegak lurus AB.
    Ini bukan sudut yang kita cari.

3.  **Perhatikan sudut antara bidang TAB dan ABC.** Sudut yang dimaksud adalah sudut antara garis TM (pada bidang TAB, tegak lurus AB) dan garis tinggi dari M ke AB pada bidang ABC. Karena ABC adalah segitiga sama sisi, garis tinggi dari C ke AB akan melalui M, dan CM tegak lurus AB.
    Jadi, sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah sudut antara TM dan CM, yaitu ∠TMC.

4.  **Hitung panjang CM.** CM adalah tinggi segitiga sama sisi ABC dengan sisi 4 cm.
    CM = (s√3)/2 = (4√3)/2 = 2√3 cm.

5.  **Gunakan segitiga TMC untuk mencari sinus sudut ∠TMC.** Segitiga TMC memiliki:
    -   Sisi TM = 4√2 cm (tinggi bidang TAB)
    -   Sisi CM = 2√3 cm (tinggi bidang ABC)
    -   Sisi TC = 6 cm (rusuk tegak)
    Kita perlu mencari sinus sudut ∠TMC. Dalam segitiga TMC, kita perlu menentukan apakah ada sisi yang tegak lurus terhadap sisi lain untuk mempermudah. Namun, kita bisa menggunakan definisi sinus:
    sin(∠TMC) = (sisi di depan sudut) / (sisi miring)
    Dalam konteks ini, kita perlu segitiga siku-siku. Kita bisa menggunakan proyeksi atau identifikasi segitiga siku-siku yang relevan.

    Cara lain: Sudut di antara bidang adalah sudut di antara dua garis normalnya, atau sudut antara dua garis yang tegak lurus bidang potong. Kita sudah punya TM dan CM yang tegak lurus AB.

    Sekarang, mari kita tinjau segitiga TMC. Kita ingin mencari sin(∠TMC). Kita perlu sisi yang tegak lurus terhadap TM atau CM, atau menggunakan aturan cosinus untuk mencari sudutnya terlebih dahulu.

    Mari kita periksa segitiga TMC. Kita punya TM = 4√2, CM = 2√3, TC = 6.
    Untuk mencari sin(∠TMC), kita perlu segitiga siku-siku. Perhatikan segitiga TMC. Kita bisa memproyeksikan TC ke bidang ABC. Tapi itu lebih rumit.

    Cara yang lebih standar: Misalkan bidang ABC adalah bidang horizontal. Bidang TAB dimiringkan. Sudut antara bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis TM dengan bidang alas ABC. Sudut ini adalah ∠TMC jika TO tegak lurus CM, yang tidak selalu benar.

    Sudut antara bidang TAB dan ABC adalah sudut antara garis TM (di bidang TAB, tegak lurus AB) dan garis tinggi dari M ke AB pada bidang ABC (yaitu garis CM).

    Jadi, sudutnya adalah ∠TMC.

    Dalam segitiga TMC, kita ingin mencari sin(∠TMC).
    Kita punya sisi-sisi TM = 4√2, CM = 2√3, TC = 6.
    Untuk mencari sinus, kita perlu segitiga siku-siku. Mari kita cari tinggi dari T ke CM di segitiga TMC.

    Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan aturan cosinus untuk mencari cos(∠TMC) terlebih dahulu, lalu mencari sin(∠TMC).
    TC^2 = TM^2 + CM^2 - 2 * TM * CM * cos(∠TMC)
    6^2 = (4√2)^2 + (2√3)^2 - 2 * (4√2) * (2√3) * cos(∠TMC)
    36 = 32 + 12 - 16√6 * cos(∠TMC)
    36 = 44 - 16√6 * cos(∠TMC)
    16√6 * cos(∠TMC) = 44 - 36
    16√6 * cos(∠TMC) = 8
    cos(∠TMC) = 8 / (16√6)
    cos(∠TMC) = 1 / (2√6)
    cos(∠TMC) = √6 / 12

    Sekarang, gunakan identitas sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 untuk mencari sin(∠TMC):
sin^2(∠TMC) = 1 - cos^2(∠TMC)
sin^2(∠TMC) = 1 - (√6 / 12)^2
sin^2(∠TMC) = 1 - (6 / 144)
sin^2(∠TMC) = 1 - (1 / 24)
sin^2(∠TMC) = 23 / 24
sin(∠TMC) = √(23 / 24)
sin(∠TMC) = √23 / √24
sin(∠TMC) = √23 / (2√6)
sin(∠TMC) = (√23 * √6) / (2√6 * √6)
sin(∠TMC) = √138 / 12

Nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah √138 / 12.