Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB = 8 cm

Jarak antara garis KL dan bidang TBC adalah 6√10 / 5 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara garis KL dan bidang TBC pada limas beraturan T.ABCD dengan AB = 8 cm dan tinggi limas 12 cm, di mana K dan L adalah titik tengah AB dan AD:

1.  **Tentukan Koordinat Titik:** 
    Kita bisa menempatkan titik A di (0,0,0). Maka:
    B = (8,0,0)
    D = (0,8,0)
    C = (8,8,0)
    Karena limas beraturan, T berada di atas titik tengah alas. Titik tengah alas ABCD adalah (4,4,0). Jadi, T = (4,4,12).

2.  **Tentukan Koordinat K dan L:**
    K adalah titik tengah AB, sehingga K = ((0+8)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (4,0,0).
    L adalah titik tengah AD, sehingga L = ((0+0)/2, (0+8)/2, (0+0)/2) = (0,4,0).

3.  **Tentukan Vektor Garis KL:**
    Vektor KL = L - K = (0-4, 4-0, 0-0) = (-4, 4, 0).

4.  **Tentukan Vektor Bidang TBC:**
    Kita perlu dua vektor yang berada di bidang TBC. Ambil vektor TB dan TC.
    Vektor TB = B - T = (8-4, 0-4, 0-12) = (4, -4, -12).
    Vektor TC = C - T = (8-4, 8-4, 0-12) = (4, 4, -12).

5.  **Tentukan Vektor Normal Bidang TBC:**
    Vektor normal (n) dapat ditemukan dengan perkalian silang vektor TB dan TC.
    n = TB x TC = | i   j   k  |
              | 4  -4 -12 |
              | 4   4 -12 |
    n = i((-4)(-12) - (4)(-12)) - j((4)(-12) - (4)(-12)) + k((4)(4) - (4)(-4))
    n = i(48 + 48) - j(-48 + 48) + k(16 + 16)
    n = 96i - 0j + 32k = (96, 0, 32).
    Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membaginya dengan 32, sehingga n = (3, 0, 1).

6.  **Hitung Jarak Garis KL ke Bidang TBC:**
    Jarak antara garis yang melalui titik P dengan vektor arah v ke bidang dengan vektor normal n dan melalui titik Q adalah |(P-Q) . n| / ||n||.
    Kita bisa gunakan titik K (4,0,0) sebagai P, dan titik T (4,4,12) sebagai Q.
    Vektor KP = P - Q = (4-4, 0-4, 0-12) = (0, -4, -12).
    Jarak = |(0, -4, -12) . (3, 0, 1)| / ||(3, 0, 1)||
    Jarak = |(0*3 + (-4)*0 + (-12)*1)| / sqrt(3^2 + 0^2 + 1^2)
    Jarak = |-12| / sqrt(9 + 0 + 1)
    Jarak = 12 / sqrt(10)
    Jarak = 12 * sqrt(10) / 10
    Jarak = 6 * sqrt(10) / 5 cm.