Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB=3cm dan

3√7/2 cm

Pembahasan

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Kita perlu mencari jarak titik B ke rusuk TD.
Karena limas beraturan, alas ABCD adalah persegi dengan sisi 3 cm. TA, TB, TC, TD adalah rusuk tegak yang sama panjang, yaitu 6 cm. Tinggi limas (TO) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TOA, di mana OA adalah setengah diagonal AC. Diagonal AC = $\sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ cm. Jadi, OA = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.
$TO^2 = TA^2 - OA^2 = 6^2 - (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = 36 - \frac{18}{4} = 36 - \frac{9}{2} = \frac{72-9}{2} = \frac{63}{2}$.
$TO = \sqrt{\frac{63}{2}} = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{14}}{2}$ cm.
Sekarang kita cari jarak titik B ke rusuk TD. Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga TBD. Luas segitiga TBD dapat dihitung dengan alas BD dan tinggi dari T ke BD (yaitu TO). Luas TBD = $\frac{1}{2} \times BD \times TO = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times \frac{3\sqrt{14}}{2} = \frac{9\sqrt{28}}{4} = \frac{9 \times 2\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{7}}{2}$ cm$^2$.
Kita juga bisa menghitung luas segitiga TBD dengan alas TD dan tinggi dari B ke TD (jarak yang dicari, sebut saja h).
Sisi-sisi segitiga TBD adalah TB=6 cm, TD=6 cm, dan BD=$3\sqrt{2}$ cm.
Untuk mencari luas TBD dengan alas TD, kita perlu tinggi dari B ke TD. Luas TBD = $\frac{1}{2} \times TD \times h$.
Kita perlu mencari tinggi dari B ke TD. Kita bisa menggunakan segitiga TBD. Sisi-sisinya adalah 6, 6, dan $3\sqrt{2}$. Segitiga TBD adalah segitiga sama kaki.
Misalkan proyeksi B pada TD adalah P. Segitiga TBP siku-siku di P. Kita perlu mencari panjang TB dan sudut BTD.
Cosinus sudut BTD dapat dicari menggunakan aturan kosinus pada segitiga TBD: $BD^2 = TB^2 + TD^2 - 2(TB)(TD) \cos(\angle BTD)$
$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + 6^2 - 2(6)(6) \cos(\angle BTD)$
$18 = 36 + 36 - 72 \cos(\angle BTD)$
$18 = 72 - 72 \cos(\angle BTD)$
$72 \cos(\angle BTD) = 72 - 18 = 54$
$\cos(\angle BTD) = \frac{54}{72} = \frac{3}{4}$
Dalam segitiga TBP, $\sin(\angle BTD) = \frac{BP}{TB}$.
Kita perlu $\sin(\angle BTD)$. Karena $\cos(\angle BTD) = \frac{3}{4}$, maka $\sin(\angle BTD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle BTD)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Maka, $BP = TB \sin(\angle BTD) = 6 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$ cm.
Jadi, jarak titik B ke rusuk TD adalah $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ cm.