Diketahui lingkaran dengan persamaan x^2+y^2-6x-4y+9=0.

a. Pusat (3, 2), jari-jari 2. b. Persamaan lingkaran baru: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$.

Pembahasan

Diberikan persamaan lingkaran $x^2+y^2-6x-4y+9=0$.

a. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana (a, b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
Kita perlu mengubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat.

Kelompokkan suku x dan suku y:
$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 9 = 0$

Lengkapi kuadrat untuk suku x: $(x^2 - 6x + (-6/2)^2) = (x^2 - 6x + 9) = (x-3)^2$
Lengkapi kuadrat untuk suku y: $(y^2 - 4y + (-4/2)^2) = (y^2 - 4y + 4) = (y-2)^2$

Tambahkan dan kurangkan nilai yang ditambahkan untuk melengkapkan kuadrat:
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 9 = 0$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 9 - 4 + 9 = 0$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 4 = 0$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$

Dengan membandingkan dengan bentuk umum $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, kita dapatkan:
Pusat (a, b) = (3, 2)
Jari-jari kuadrat $r^2 = 4$, sehingga jari-jari $r = \sqrt{4} = 2$.

b. Menentukan persamaan lingkaran baru:
Pusat lingkaran baru adalah (-2, 3) dan jari-jarinya sama dengan lingkaran sebelumnya, yaitu r = 2.

Masukkan nilai pusat (a', b') = (-2, 3) dan jari-jari r = 2 ke dalam bentuk umum persamaan lingkaran $(x-a')^2 + (y-b')^2 = r^2$.
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$

Jika ingin diuraikan:
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 4$
x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 + 9 - 4 = 0
x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0

Jadi:
a. Pusat lingkaran adalah (3, 2) dan jari-jarinya adalah 2.
b. Persamaan lingkaran baru adalah $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ atau $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$.