Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Nilai limit x -> 0 ((1-2sin^2(x)-cos^3(2x))/(5x^2))=....
Pertanyaan
Nilai limit x -> 0 ((1-2sin^2(x)-cos^3(2x))/(5x^2))=....
Solusi
Verified
Nilai limitnya adalah 4/5.
Pembahasan
Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{1-2\sin^2(x)-\cos^3(2x)}{5x^2}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Jadi, $1 - 2\sin^2(x) = \cos(2x)$. Substitusikan ini ke dalam ekspresi: L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)-\cos^3(2x)}{5x^2}$ Langkah 2: Faktorkan $\cos(2x)$. L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)(1-\cos^2(2x))}{5x^2}$ Kita tahu bahwa $1-\cos^2(\theta) = \sin^2(\theta)$. Maka, $1-\cos^2(2x) = \sin^2(2x)$. L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)\sin^2(2x)}{5x^2}$ Langkah 3: Susun ulang ekspresi untuk menggunakan sifat limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$ dan $\lim_{\theta \to 0} \cos(\theta) = 1$. L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{5} \cdot \frac{\sin^2(2x)}{x^2}$ L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{5} \cdot (\frac{\sin(2x)}{x})^2$ Agar sesuai dengan bentuk $\frac{\sin(\theta)}{\theta}$, kita perlu mengalikan dan membagi dengan 2 di dalam kuadrat: L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{5} \cdot (2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x})^2$ L = $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{5} \cdot 4 \cdot (\frac{\sin(2x)}{2x})^2$ Langkah 4: Hitung limitnya. Saat $x \to 0$, maka $2x \to 0$. $\lim_{x \to 0} \cos(2x) = \cos(0) = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$ Substitusikan nilai-nilai limit ini: L = $\frac{1}{5} \cdot 4 \cdot (1)^2$ L = $\frac{4}{5}$ Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{4}{5}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?