Diketahui lingkaran melalui titik (1,0) dan menyinggung

Persamaan lingkaran dapat ditemukan dengan menggunakan informasi titik yang dilalui, titik singgung, dan gradien garis singgung.

Pembahasan

Misalkan persamaan lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Karena lingkaran melalui titik (1,0), maka (1-a)^2 + (0-b)^2 = r^2. Karena lingkaran menyinggung garis 3x+2y-4=0 di titik (2,-1), maka jari-jari lingkaran tegak lurus dengan garis singgung di titik singgung. Gradien garis singgung adalah -3/2. Gradien jari-jari yang menghubungkan (a,b) dan (2,-1) adalah (b-(-1))/(a-2) = (b+1)/(a-2). Karena tegak lurus, maka gradien jari-jari * gradien garis singgung = -1. Sehingga, ((b+1)/(a-2)) * (-3/2) = -1. Diperoleh 3(b+1) = 2(a-2), atau 3b+3 = 2a-4, atau 2a-3b = 7. Jarak dari pusat (a,b) ke garis singgung 3x+2y-4=0 sama dengan jari-jari r. Maka |3a+2b-4|/sqrt(3^2+2^2) = r, atau |3a+2b-4|/sqrt(13) = r. Kuadratkan kedua sisi: (3a+2b-4)^2 / 13 = r^2. Kita juga tahu bahwa jarak dari pusat (a,b) ke titik singgung (2,-1) adalah jari-jari, jadi (a-2)^2 + (b-(-1))^2 = r^2, atau (a-2)^2 + (b+1)^2 = r^2. Dengan menyamakan kedua ekspresi untuk r^2 dan menggunakan hubungan 2a-3b=7, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan untuk menemukan a dan b, lalu menghitung r^2.