Diketahui luas sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi

12 cm

Pembahasan

Untuk memaksimalkan volume kotak tanpa tutup dengan alas persegi, kita perlu menggunakan konsep turunan.
Misalkan panjang sisi alas persegi adalah \(s\) dan tinggi kotak adalah \(t\).
Luas alas = \(s^2
Luas sisi tegak = 4 \times (s \times t)
Luas kotak tanpa tutup = Luas alas + Luas sisi tegak
\(432 = s^2 + 4st
Kita ingin memaksimalkan volume, \(V = s^2 t
Dari persamaan luas, kita bisa ekspresikan \(t\) dalam \(s\):
\(4st = 432 - s^2
\(t = \frac{432 - s^2}{4s} = \frac{432}{4s} - \frac{s^2}{4s} = \frac{108}{s} - \frac{s}{4}
Sekarang substitusikan \(t\) ke dalam persamaan volume:
\(V(s) = s^2 \left(\frac{108}{s} - \frac{s}{4}\right)
\(V(s) = 108s - \frac{s^3}{4}
Untuk mencari volume maksimum, kita cari turunan pertama \(V(s)\) terhadap \(s\) dan samakan dengan nol:
\(V'(s) = \frac{dV}{ds} = 108 - \frac{3s^2}{4}
Samakan \(V'(s)\) dengan 0:
\(108 - \frac{3s^2}{4} = 0
\(108 = \frac{3s^2}{4}
\(108 \times 4 = 3s^2
\(432 = 3s^2
\(s^2 = \frac{432}{3}
\(s^2 = 144
\(s = \sqrt{144}
\(s = 12
Kita perlu memastikan ini adalah maksimum dengan mencari turunan kedua:
\(V''(s) = \frac{d^2V}{ds^2} = -\frac{6s}{4} = -\frac{3s}{2}
Karena \(s=12\) (panjang rusuk harus positif), maka \(V''(12) = -\frac{3 \times 12}{2} = -18\). Karena turunan kedua negatif, maka \(s=12\) memberikan volume maksimum.

Jadi, panjang rusuk persegi alas adalah 12 cm.