Diketahui m=df(x)/dx=x+2 adalah gradien garis singgung dari

a. Tak hingga. b. f(x) = (1/2)x^2 + 2x - 4.5. c. Gradien adalah turunan pertama; integrasi gradien menghasilkan fungsi asli dengan konstanta integrasi.

Pembahasan

Diketahui gradien garis singgung dari sembarang kurva f(x) adalah m = df(x)/dx = x + 2.
a. Banyaknya f(x) yang memenuhi adalah tak hingga banyaknya, karena setiap gradien dapat diintegralkan menjadi fungsi yang berbeda tergantung pada konstanta integrasinya. 
b. Jika kurva fungsi f melalui titik (1, -2), maka untuk menentukan persamaan kurvanya, kita perlu mengintegralkan gradien: f(x) = ∫(x + 2) dx = (1/2)x^2 + 2x + C. Substitusikan titik (1, -2) ke dalam persamaan: -2 = (1/2)(1)^2 + 2(1) + C => -2 = 0.5 + 2 + C => -2 = 2.5 + C => C = -2 - 2.5 = -4.5. Jadi, persamaan kurvanya adalah f(x) = (1/2)x^2 + 2x - 4.5.
c. Dari perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa gradien garis singgung suatu kurva merupakan turunan pertama dari fungsi kurva tersebut. Dengan mengintegralkan gradien, kita dapat menemukan persamaan kurva aslinya, namun diperlukan informasi tambahan (seperti titik yang dilalui kurva) untuk menentukan konstanta integrasi dan mendapatkan persamaan kurva yang spesifik.