Diketahui matriks A = (1 5 -1 2) dan B = (11 6 5 2).

\(\begin{pmatrix} 1/28 & 2/7 \ -1/56 & -9/14 \end{pmatrix}\)

Pembahasan

Untuk mencari \((AB)^{-1}\), kita perlu menghitung hasil perkalian matriks A dan B terlebih dahulu, yaitu AB. 

Diketahui matriks A = \(\begin{pmatrix} 1 & 5 \ -1 & 2 \end{pmatrix}\) dan B = \(\begin{pmatrix} 11 & 6 \ 5 & 2 \end{pmatrix}\).

Perkalian matriks AB adalah:
\(AB = \begin{pmatrix} 1 & 5 \ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 & 6 \ 5 & 2 \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} (1)(11) + (5)(5) & (1)(6) + (5)(2) \ (-1)(11) + (2)(5) & (-1)(6) + (2)(2) \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 11 + 25 & 6 + 10 \ -11 + 10 & -6 + 4 \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 36 & 16 \ -1 & -2 \end{pmatrix}\)

Selanjutnya, kita perlu mencari invers dari matriks AB, yaitu \((AB)^{-1}\). Rumus invers matriks \(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\) adalah \(\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}\).

Untuk matriks AB = \(\begin{pmatrix} 36 & 16 \ -1 & -2 \end{pmatrix}\):
Determinan (ad-bc) = (36)(-2) - (16)(-1) = -72 - (-16) = -72 + 16 = -56.

Maka, \((AB)^{-1}\) adalah:
\((AB)^{-1} = \frac{1}{-56} \begin{pmatrix} -2 & -16 \ -(-1) & 36 \end{pmatrix}
(AB)^{-1} = \frac{1}{-56} \begin{pmatrix} -2 & -16 \ 1 & 36 \end{pmatrix}
(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{-56} & \frac{-16}{-56} \ \frac{1}{-56} & \frac{36}{-56} \end{pmatrix}
(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{28} & \frac{2}{7} \ -\frac{1}{56} & -\frac{9}{14} \end{pmatrix}\)

Jadi, matriks dari \((AB)^{-1}\) adalah \(\begin{pmatrix} 1/28 & 2/7 \ -1/56 & -9/14 \end{pmatrix}\).