Diketahui matriks A=[2 1 7 4] B=[3 1 -1 0] , Tentukan nilai

a. [[21, -6], [-51, 15]], b. [[6, 0], [0, 6]]

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari ekspresi matriks yang melibatkan invers dan perkalian matriks.

Diketahui matriks A=[2 1 7 4] dan B=[3 1 -1 0].

Namun, matriks A dan B yang diberikan hanya memiliki satu baris, yang berarti ini adalah matriks baris atau vektor baris. Operasi seperti invers matriks (A⁻¹, B⁻¹) dan perkalian matriks (AB) biasanya didefinisikan untuk matriks persegi (jumlah baris sama dengan jumlah kolom).

Jika kita mengasumsikan bahwa A dan B seharusnya adalah matriks 2x2:
Misalkan A = [[2, 1], [7, 4]] dan B = [[3, 1], [-1, 0]].

**a. Menghitung 3 B⁻¹ A⁻¹:**

1.  **Hitung invers A (A⁻¹):**
    Determinan A (det(A)) = (2*4) - (1*7) = 8 - 7 = 1.
    A⁻¹ = (1/det(A)) * [[4, -1], [-7, 2]] = [[4, -1], [-7, 2]].

2.  **Hitung invers B (B⁻¹):**
    Determinan B (det(B)) = (3*0) - (1*(-1)) = 0 - (-1) = 1.
    B⁻¹ = (1/det(B)) * [[0, -1], [1, 3]] = [[0, -1], [1, 3]].

3.  **Hitung B⁻¹ A⁻¹:**
    B⁻¹ A⁻¹ = [[0, -1], [1, 3]] * [[4, -1], [-7, 2]]
    B⁻¹ A⁻¹ = [[(0*4 + (-1)*(-7)), (0*(-1) + (-1)*2)], [(1*4 + 3*(-7)), (1*(-1) + 3*2)]]
    B⁻¹ A⁻¹ = [[(0 + 7), (0 - 2)], [(4 - 21), (-1 + 6)]]
    B⁻¹ A⁻¹ = [[7, -2], [-17, 5]].

4.  **Hitung 3 B⁻¹ A⁻¹:**
    3 B⁻¹ A⁻¹ = 3 * [[7, -2], [-17, 5]] = [[21, -6], [-51, 15]].

**b. Menghitung A B⁻¹ + B A⁻¹:**

1.  **Hitung A B⁻¹:**
    A B⁻¹ = [[2, 1], [7, 4]] * [[0, -1], [1, 3]]
    A B⁻¹ = [[(2*0 + 1*1), (2*(-1) + 1*3)], [(7*0 + 4*1), (7*(-1) + 4*3)]]
    A B⁻¹ = [[(0 + 1), (-2 + 3)], [(0 + 4), (-7 + 12)]]
    A B⁻¹ = [[1, 1], [4, 5]].

2.  **Hitung B A⁻¹:**
    B A⁻¹ = [[3, 1], [-1, 0]] * [[4, -1], [-7, 2]]
    B A⁻¹ = [[(3*4 + 1*(-7)), (3*(-1) + 1*2)], [(-1*4 + 0*(-7)), (-1*(-1) + 0*2)]]
    B A⁻¹ = [[(12 - 7), (-3 + 2)], [(-4 + 0), (1 + 0)]]
    B A⁻¹ = [[5, -1], [-4, 1]].

3.  **Hitung A B⁻¹ + B A⁻¹:**
    A B⁻¹ + B A⁻¹ = [[1, 1], [4, 5]] + [[5, -1], [-4, 1]]
    A B⁻¹ + B A⁻¹ = [[(1+5), (1+(-1))], [(4+(-4)), (5+1)]]
    A B⁻¹ + B A⁻¹ = [[6, 0], [0, 6]].

**Catatan Penting:** Jika matriks A dan B memang hanya matriks baris seperti yang tertulis, maka operasi invers dan perkalian matriks seperti yang diminta tidak dapat dilakukan dalam definisi standar aljabar linear. Jawaban di atas didasarkan pada asumsi bahwa A dan B adalah matriks 2x2.

Jawaban:
a. 3 B⁻¹ A⁻¹ = [[21, -6], [-51, 15]]
b. A B⁻¹ + B A⁻¹ = [[6, 0], [0, 6]]