Diketahui matriks A = (7 0 -1 -2), B=(1 -1 5/4 -3/2) A^-1

Matriks C adalah [[6/7, -41/14], [-4/7, 16/7]].

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari matriks C dari persamaan A⁻¹B⁻¹ = Cᵀ.

Diketahui matriks:
A = [[7, 0], [-1, -2]]
B = [[1, -1], [5/4, -3/2]]

Langkah 1: Cari invers dari matriks A (A⁻¹).
Rumus invers matriks 2x2 [[a, b], [c, d]] adalah (1 / (ad - bc)) * [[d, -b], [-c, a]].

Untuk matriks A:
a = 7, b = 0, c = -1, d = -2
Determinan A (det(A)) = ad - bc = (7)(-2) - (0)(-1) = -14 - 0 = -14.

A⁻¹ = (1 / -14) * [[-2, -0], [-(-1), 7]]
A⁻¹ = (-1/14) * [[-2, 0], [1, 7]]
A⁻¹ = [[-2/-14, 0/-14], [1/-14, 7/-14]]
A⁻¹ = [[1/7, 0], [-1/14, -1/2]]

Langkah 2: Cari invers dari matriks B (B⁻¹).
Untuk matriks B:
a = 1, b = -1, c = 5/4, d = -3/2
Determinan B (det(B)) = ad - bc = (1)(-3/2) - (-1)(5/4) = -3/2 + 5/4
Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya menjadi 4:
det(B) = -6/4 + 5/4 = -1/4.

B⁻¹ = (1 / (-1/4)) * [[-3/2, -(-1)], [-(5/4), 1]]
B⁻¹ = -4 * [[-3/2, 1], [-5/4, 1]]
B⁻¹ = [[(-4)*(-3/2), (-4)*(1)], [(-4)*(-5/4), (-4)*(1)]]
B⁻¹ = [[6, -4], [5, -4]]

Langkah 3: Hitung A⁻¹B⁻¹.
Kita akan mengalikan matriks A⁻¹ dengan matriks B⁻¹.

A⁻¹B⁻¹ = [[1/7, 0], [-1/14, -1/2]] * [[6, -4], [5, -4]]

Elemen baris 1, kolom 1: (1/7)*6 + (0)*5 = 6/7
Elemen baris 1, kolom 2: (1/7)*(-4) + (0)*(-4) = -4/7
Elemen baris 2, kolom 1: (-1/14)*6 + (-1/2)*5 = -6/14 - 5/2 = -3/7 - 5/2
Samakan penyebut menjadi 14: -6/14 - 35/14 = -41/14
Elemen baris 2, kolom 2: (-1/14)*(-4) + (-1/2)*(-4) = 4/14 + 4/2 = 2/7 + 2
Samakan penyebut menjadi 7: 2/7 + 14/7 = 16/7

Jadi, A⁻¹B⁻¹ = [[6/7, -4/7], [-41/14, 16/7]]

Langkah 4: Cari matriks C jika A⁻¹B⁻¹ = Cᵀ.
Cᵀ adalah transpos dari matriks C. Ini berarti elemen baris matriks C menjadi elemen kolom matriks Cᵀ, dan sebaliknya.

Jika Cᵀ = [[6/7, -4/7], [-41/14, 16/7]], maka untuk mencari C, kita transposkan Cᵀ kembali.

C = [[6/7, -41/14], [-4/7, 16/7]]

Jadi, matriks C adalah [[6/7, -41/14], [-4/7, 16/7]].