Diketahui P(3, 2, -1) dan Q(-4, -2, 3) serta a=-3i+4j+k

Panjang proyeksi = 9/sqrt(26), Vektor proyeksi = (-27/26)i + (18/13)j + (9/26)k

Pembahasan

Untuk menentukan panjang proyeksi vektor PQ terhadap vektor a, kita gunakan rumus: \nPanjang Proyeksi = |PQ · a| / |a| \n\nDan untuk vektor proyeksi PQ terhadap a, rumusnya adalah: \nVektor Proyeksi = ((PQ · a) / |a|^2) * a\n\nLangkah 1: Tentukan vektor PQ.
Vektor PQ = Q - P = (-4 - 3, -2 - 2, 3 - (-1)) = (-7, -4, 4)

Langkah 2: Hitung hasil kali titik (dot product) PQ · a.
PQ · a = (-7)(-3) + (-4)(4) + (4)(1) = 21 - 16 + 4 = 9

Langkah 3: Hitung panjang vektor a (|a|).
|a| = sqrt((-3)^2 + 4^2 + 1^2) = sqrt(9 + 16 + 1) = sqrt(26)

Langkah 4: Hitung panjang proyeksi PQ terhadap a.
Panjang Proyeksi = |9| / sqrt(26) = 9 / sqrt(26) = (9 * sqrt(26)) / 26

Langkah 5: Hitung vektor proyeksi PQ terhadap a.
Vektor Proyeksi = (9 / (sqrt(26))^2) * a
Vektor Proyeksi = (9 / 26) * (-3i + 4j + k)
Vektor Proyeksi = (-27/26)i + (36/26)j + (9/26)k
Vektor Proyeksi = (-27/26)i + (18/13)j + (9/26)k

Jadi, panjang proyeksi PQ terhadap a adalah 9/sqrt(26) atau (9 * sqrt(26)) / 26, dan vektor proyeksi PQ terhadap a adalah (-27/26)i + (18/13)j + (9/26)k.