Diketahui p polinom berderajat n memenuhi p(0) = 0, p(1) =

p(n + 1) = (n+1 + (-1)^(n+1))/(n+2)

Pembahasan

Misalkan $q(x) = x 	imes p(x) - x$. Diketahui $p(x)$ adalah polinom berderajat $n$.
Dari informasi yang diberikan:
$p(0) = 0/(0+1) = 0$
$p(1) = 1/(1+1) = 1/2$
$p(2) = 2/(2+1) = 2/3$
...
$p(n) = n/(n+1)$

Perhatikan bahwa untuk $x = 0, 1, 2, ..., n$, berlaku $p(x) = x/(x+1)$.
Ini berarti $x 	imes p(x) = x^2/(x+1)$.

Mari kita definisikan polinom baru $q(x) = (x+1)p(x) - x$.
Untuk $x = 0, 1, 2, ..., n$, kita punya:
$q(0) = (0+1)p(0) - 0 = 1 	imes 0 - 0 = 0$
$q(1) = (1+1)p(1) - 1 = 2 	imes (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0$
$q(2) = (2+1)p(2) - 2 = 3 	imes (2/3) - 2 = 2 - 2 = 0$
...
$q(n) = (n+1)p(n) - n = (n+1) 	imes (n/(n+1)) - n = n - n = 0$

Karena $q(x)$ memiliki akar di $x = 0, 1, 2, ..., n$, maka $q(x)$ dapat ditulis sebagai:
$q(x) = C 	imes x(x-1)(x-2)...(x-n)$, di mana $C$ adalah konstanta.

Jadi, $(x+1)p(x) - x = C 	imes x(x-1)(x-2)...(x-n)$.

Kita perlu mencari nilai $p(n+1)$. Mari kita substitusikan $x = n+1$ ke dalam persamaan:
$(n+1+1)p(n+1) - (n+1) = C 	imes (n+1)(n+1-1)(n+1-2)...(n+1-n)$
$(n+2)p(n+1) - (n+1) = C 	imes (n+1)(n)(n-1)...(1)$
$(n+2)p(n+1) - (n+1) = C 	imes (n+1)!$

Untuk mencari nilai $C$, kita bisa menggunakan salah satu nilai $x$ yang belum digunakan. Namun, kita tidak memiliki informasi lebih lanjut tentang $p(x)$ untuk menentukan $C$ secara langsung dari soal yang diberikan. Diasumsikan bahwa $p(x)$ adalah polinom dengan derajat paling rendah yang memenuhi kondisi tersebut. Dalam kasus ini, derajat dari $q(x)$ adalah $n+1$.

Jika kita asumsikan $p(x)$ adalah polinom derajat $n$, maka $(x+1)p(x)$ adalah polinom derajat $n+1$. Agar $(x+1)p(x) - x$ memiliki $n+1$ akar $0, 1, ..., n$, maka $C$ haruslah suatu konstanta. Jika $p(x)$ berderajat $n$, maka $q(x)$ juga berderajat $n+1$. Koefisien suku banyak $q(x) = C 	imes x(x-1)...(x-n)$ adalah $C$. Koefisien $x^{n+1}$ dari $(x+1)p(x) - x$ harus sama dengan $C$. 

Jika kita melihat bentuk $p(x) = x/(x+1)$, ini bukan polinom. Namun, soal menyatakan $p(x)$ adalah polinom. 

Mari kita tinjau ulang $q(x) = (x+1)p(x) - x$. Jika $p(x)$ adalah polinom berderajat $n$, maka $(x+1)p(x)$ adalah polinom berderajat $n+1$. Karena $q(x)$ memiliki $n+1$ akar yaitu $0, 1, ..., n$, maka $q(x)$ dapat ditulis sebagai $q(x) = C 	imes x(x-1)(x-2)...(x-n)$.

Perhatikan bahwa $p(x) = rac{x(x-1)(x-2)...(x-n)}{(x+1)} + rac{x}{x+1}$. Ini bukan polinom.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus. Jika $n=1$, $p(0)=0$, $p(1)=1/2$. Maka $p(x) = ax+b$. $p(0)=b=0$. $p(1)=a=1/2$. Jadi $p(x) = x/2$. Kita ingin mencari $p(2)$. $p(2) = 2/2 = 1$. Dalam soal ini, $p(2)=2/3$. Jadi $p(x)=x/2$ bukan solusinya.

Kembali ke $q(x) = (x+1)p(x) - x = C x(x-1)(x-2)...(x-n)$.
Jika kita coba mencari $C$ dari $p(x) = x/(x+1)$, ini salah karena $p(x)$ harus polinom.

Misalkan kita gunakan interpolasi polinom. Namun, jumlah titik yang diberikan adalah $n+1$ titik $(0,0), (1,1/2), ..., (n, n/(n+1))$. Dengan $n+1$ titik, kita dapat menentukan polinom berderajat paling tinggi $n$. Jadi, $p(x)$ adalah polinom berderajat $n$.

Kita memiliki $n+1$ akar untuk $q(x)$. Ini menyiratkan bahwa derajat dari $q(x)$ adalah setidaknya $n+1$.
Jika $p(x)$ berderajat $n$, maka $(x+1)p(x)$ berderajat $n+1$. Maka $q(x) = (x+1)p(x) - x$ juga berderajat $n+1$.

Jadi, $q(x) = C 	imes x(x-1)(x-2)...(x-n)$ adalah bentuk yang benar.

Kita perlu menentukan $C$. Jika kita tahu satu nilai $p(k)$ untuk $k > n$, kita bisa mencari $C$. Namun, kita ditanya $p(n+1)$.

Perhatikan bahwa $p(x) = rac{x}{x+1}$ memenuhi semua kondisi $p(0)=0, p(1)=1/2, ..., p(n)=n/(n+1)$. Namun, ini bukan polinom. 

Misalkan kita pertimbangkan polinom interpolasi Lagrange atau Newton untuk titik-titik $(0,0), (1,1/2), ..., (n, n/(n+1))$. Polinom ini akan berderajat paling tinggi $n$. 

Jika kita kembali ke $q(x) = (x+1)p(x) - x = C x(x-1)...(x-n)$.
Untuk mencari $C$, kita bisa melihat koefisien suku dengan derajat tertinggi. Misalkan $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$.
Karena $p(0)=0$, maka $a_0=0$.
$(x+1)(a_n x^n + ... + a_1 x) - x = C x(x-1)...(x-n)$
$a_n x^{n+1} + (a_{n-1}+a_n) x^n + ... + a_1 x - x = C (x^{n+1} - (rac{n(n+1)}{2}) x^n + ...)$

Koefisien dari $x^{n+1}$ di sisi kiri adalah $a_n$. Koefisien dari $x^{n+1}$ di sisi kanan adalah $C$. Jadi $a_n = C$.

Kita punya $q(x) = (x+1)p(x) - x$. Kita tahu $q(x)$ memiliki akar $0, 1, ..., n$. Jadi $q(x) = C 	imes x(x-1)...(x-n)$.
Kita ingin mencari $p(n+1)$.
$(n+1+1)p(n+1) - (n+1) = C (n+1)(n+1-1)...(n+1-n)$
$(n+2)p(n+1) - (n+1) = C (n+1) n (n-1)...(1) = C (n+1)!$
$(n+2)p(n+1) = n+1 + C (n+1)!$
$p(n+1) = rac{n+1 + C (n+1)!}{n+2}$

Kita perlu mencari nilai $C$. Jika kita tahu nilai $p(x)$ untuk suatu $x$ yang tidak termasuk dalam $0, 1, ..., n$, kita bisa mencari $C$. Namun, kita tidak punya informasi tersebut.

Mari kita periksa kembali definisi $q(x)$.
$q(x) = (x+1)p(x) - x$. Karena $p(x)$ berderajat $n$, maka $(x+1)p(x)$ berderajat $n+1$. Jadi $q(x)$ berderajat $n+1$.
Karena $q(0)=q(1)=...=q(n)=0$, maka $q(x) = C x(x-1)...(x-n)$.

Kita perlu menemukan nilai $C$. Jika kita menggunakan informasi bahwa $p(x)$ adalah polinom berderajat $n$, maka kita memiliki $n+1$ koefisien yang tidak diketahui. Dengan $n+1$ titik, kita dapat menentukan polinom tersebut.

Perhatikan bahwa $q(x) = (x+1)p(x) - x$. Jika kita evaluasi $q(x)$ pada $x=-1$: $q(-1) = (-1+1)p(-1) - (-1) = 0 	imes p(-1) + 1 = 1$.
Dari bentuk $q(x) = C x(x-1)...(x-n)$, kita punya:
$q(-1) = C (-1)(-1-1)(-1-2)...(-1-n)$
$q(-1) = C (-1)(-2)(-3)...(-(n+1))$
$q(-1) = C (-1)^{n+1} (1 	imes 2 	imes 3 	imes ... 	imes (n+1))$
$q(-1) = C (-1)^{n+1} (n+1)!$

Karena $q(-1)=1$, maka $1 = C (-1)^{n+1} (n+1)!$.
$C = rac{1}{(-1)^{n+1} (n+1)!} = rac{(-1)^{n+1}}{(-1)^{2n+2} (n+1)!} = rac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$.

Sekarang kita bisa mencari $p(n+1)$:
$(n+2)p(n+1) = n+1 + C (n+1)!$
$(n+2)p(n+1) = n+1 + rac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} (n+1)!$
$(n+2)p(n+1) = n+1 + (-1)^{n+1}$
$p(n+1) = rac{n+1 + (-1)^{n+1}}{n+2}$

Contoh:
Jika $n=1$, $p(0)=0, p(1)=1/2$. Cari $p(2)$.
$p(2) = rac{1+1 + (-1)^{1+1}}{1+2} = rac{2 + (-1)^2}{3} = rac{2+1}{3} = rac{3}{3} = 1$.

Mari kita cek dengan polinom derajat 1: $p(x) = ax+b$. $p(0)=0 
ightarrow b=0$. $p(1)=a=1/2$. Jadi $p(x) = x/2$. Maka $p(2)=2/2=1$. Ini cocok.

Jika $n=2$, $p(0)=0, p(1)=1/2, p(2)=2/3$. Cari $p(3)$.
$p(3) = rac{2+1 + (-1)^{2+1}}{2+2} = rac{3 + (-1)^3}{4} = rac{3-1}{4} = rac{2}{4} = rac{1}{2}$.

Mari kita cek dengan polinom derajat 2: $p(x) = ax^2+bx+c$. $p(0)=0 
ightarrow c=0$. $p(1)=a+b=1/2$. $p(2)=4a+2b=2/3$. $2a+b=1/3$. $(a+b)-(2a+b) = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6$. $-a=1/6 
ightarrow a=-1/6$. $b=1/2-a = 1/2 - (-1/6) = 1/2+1/6 = 3/6+1/6 = 4/6 = 2/3$. Jadi $p(x) = -1/6 x^2 + 2/3 x$. Cari $p(3) = -1/6(9) + 2/3(3) = -3/2 + 2 = -1.5 + 2 = 0.5 = 1/2$. Ini cocok.

Jadi, jawabannya adalah $p(n+1) = rac{n+1 + (-1)^{n+1}}{n+2}$.