Nyatakanlah nilai x dalam k jika diketahui: cos(2x-60) sin

Nilai x dapat dinyatakan sebagai $x \approx 14.055^\circ + k \cdot 90^\circ$ atau $x \approx 60.945^\circ + k \cdot 90^\circ$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $

\cos(2x-60^\circ) \sin(2x) = 0.4$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang sesuai atau metode numerik jika tidak ada identitas yang mudah diterapkan.

Namun, persamaan ini tampaknya tidak memiliki solusi sederhana menggunakan identitas trigonometri dasar atau substitusi yang umum. Bentuk $

\cos A \sin B$ bisa diubah menjadi:

$

\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)]$

Dalam kasus ini, $A = 2x - 60^\circ$ dan $B = 2x$.

$A+B = (2x - 60^\circ) + 2x = 4x - 60^\circ$

$A-B = (2x - 60^\circ) - 2x = -60^\circ$

Sehingga persamaan menjadi:

$

\frac{1}{2} [\sin(4x - 60^\circ) - \sin(-60^\circ)] = 0.4$

Kita tahu bahwa $

\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$

\frac{1}{2} [\sin(4x - 60^\circ) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})] = 0.4$

$

\frac{1}{2} [\sin(4x - 60^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = 0.4$

$

\sin(4x - 60^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.8$

$

\sin(4x - 60^\circ) = 0.8 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$

\sin(4x - 60^\circ) \approx 0.8 - \frac{1.732}{2}$

$

\sin(4x - 60^\circ) \approx 0.8 - 0.866$

$

\sin(4x - 60^\circ) \approx -0.066$

Untuk mencari nilai x, kita perlu mencari invers sinus dari -0.066.

$4x - 60^\circ = \arcsin(-0.066)$

$4x - 60^\circ \approx -3.78^\circ$

$4x \approx 60^\circ - 3.78^\circ$

$4x \approx 56.22^\circ$

$x \approx \frac{56.22^\circ}{4}$

$x \approx 14.055^\circ$

Karena fungsi sinus periodik, ada solusi lain. Juga, $

\sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta)$.

Jadi, $4x - 60^\circ = 180^\circ - (-3.78^\circ) = 183.78^\circ$

$4x = 180^\circ + 60^\circ - 3.78^\circ$

$4x = 240^\circ - 3.78^\circ$

$4x = 236.22^\circ$

$x = \frac{236.22^\circ}{4}$

$x \approx 59.055^\circ$

Dan kita juga perlu mempertimbangkan periode $360^\circ$ untuk $4x$.

Solusi umumnya adalah:
$4x - 60^\circ = -3.78^\circ + n \cdot 360^\circ$ atau $4x - 60^\circ = 183.78^\circ + n \cdot 360^\circ$

$4x = 56.22^\circ + n \cdot 360^\circ \implies x = 14.055^\circ + n \cdot 90^\circ$

$4x = 243.78^\circ + n \cdot 360^\circ \implies x = 60.945^\circ + n \cdot 90^\circ$

Ini adalah nilai x dalam derajat. Jika nilai k diminta, biasanya ini berarti kita perlu menyatakan solusi umum dalam bentuk parameter k, tetapi tanpa konteks lebih lanjut mengenai bagaimana 'k' digunakan, kita asumsikan ini merujuk pada solusi umum.

Untuk menyatakan dalam bentuk 'k', kita bisa melihat pola periodisitasnya. Jika kita menggunakan $n$ sebagai pengganti 'k':

$x = 14.055^\circ + k \cdot 90^\circ$

$x = 60.945^\circ + k \cdot 90^\circ$

Namun, soal meminta nilai x dalam k jika diketahui $cos(2x-60) sin 2x=0,4$. Jika 'k' adalah konstanta yang diberikan atau parameter dari soal yang tidak lengkap, maka kita tidak bisa menyelesaikannya. Jika 'k' adalah representasi dari solusi umum, maka bentuk di atas adalah jawabannya.

Asumsi yang paling mungkin adalah bahwa 'k' merujuk pada integer yang menentukan solusi spesifik dalam periode fungsi.

Jadi, nilai x dalam k adalah:

$x = 14.055^\circ + k \cdot 90^\circ$ atau $x = 60.945^\circ + k \cdot 90^\circ$, di mana k adalah bilangan bulat.