Diketahui parabola y=x^2-2 x+4 .Tentukan nilai |3 x-4 y|

Nilai sekecil mungkin dari \(|3x - 4y|\) adalah \(135/16\).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai \(|3x - 4y|\) sekecil mungkin pada parabola \(y = x^2 - 2x + 4\), kita perlu mencari nilai minimum dari ekspresi tersebut. Substitusikan \(y\) dari persamaan parabola ke dalam ekspresi \(|3x - 4y|\):

\(|3x - 4(x^2 - 2x + 4)| = |3x - 4x^2 + 8x - 16| = |-4x^2 + 11x - 16|\).

Kita ingin meminimalkan nilai absolut dari fungsi kuadrat \(f(x) = -4x^2 + 11x - 16\). Nilai minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat \(ax^2 + bx + c\) terjadi pada \(x = -b/(2a)\).

Dalam kasus ini, \(a = -4\) dan \(b = 11\). Jadi, \(x = -11 / (2 * -4) = -11 / -8 = 11/8\).

Sekarang, kita substitusikan nilai \(x = 11/8\) ke dalam \(f(x)\):

\(f(11/8) = -4(11/8)^2 + 11(11/8) - 16\)
\(f(11/8) = -4(121/64) + 121/8 - 16\)
\(f(11/8) = -121/16 + 242/16 - 256/16\)
\(f(11/8) = (121 - 256) / 16 = -135/16\).

Jadi, nilai minimum dari \(-4x^2 + 11x - 16\) adalah \(-135/16\). Namun, kita perlu mencari nilai sekecil mungkin dari \(|-4x^2 + 11x - 16|\).

Nilai minimum dari \(|f(x)|\) akan terjadi ketika \(f(x)\) paling dekat dengan 0. Karena nilai minimum dari \(f(x)\) adalah \(-135/16\) (negatif), nilai \(|f(x)|\) akan minimum ketika \(f(x)\) berada pada nilai negatif terdekat dengan nol. Dalam kasus ini, \(f(11/8) = -135/16\), sehingga \(|f(11/8)| = |-135/16| = 135/16\).

Perlu diperiksa apakah parabola \(f(x) = -4x^2 + 11x - 16\) memotong sumbu-x. Diskriminannya adalah \(D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(-4)(-16) = 121 - 256 = -135\). Karena diskriminan negatif dan koefisien \(a\) negatif, parabola \(f(x)\) selalu berada di bawah sumbu-x, artinya \(f(x)\) selalu negatif.

Oleh karena itu, nilai sekecil mungkin dari \(|-4x^2 + 11x - 16|\) adalah nilai absolut dari nilai minimum \(f(x)\), yaitu \(|-135/16| = 135/16\).