Diketahui persamaan garis-garis berikut. (i) x+2 y=7 (iii)

Garis (i) dan garis-garis dalam (iv) memotong lingkaran di dua titik.

Pembahasan

Untuk menentukan garis mana yang memotong lingkaran (x+1)^2 + (y-2)^2 = 8 di dua titik, kita perlu memeriksa jarak dari pusat lingkaran ke setiap garis. Lingkaran memiliki pusat di (-1, 2) dan jari-jari (r) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Sebuah garis memotong lingkaran di dua titik jika jarak (d) dari pusat lingkaran ke garis tersebut kurang dari jari-jari lingkaran (d < r).

Mari kita periksa setiap garis:

(i) x + 2y = 7  =>  x + 2y - 7 = 0
Pusat (-1, 2), r = sqrt(8)
d = |1*(-1) + 2*(2) - 7| / sqrt(1^2 + 2^2)
d = |-1 + 4 - 7| / sqrt(1 + 4)
d = |-4| / sqrt(5)
d = 4 / sqrt(5)
Karena (4/sqrt(5))^2 = 16/5 = 3.2 dan r^2 = 8, maka d < r. Jadi, garis (i) memotong lingkaran di dua titik.

(ii) x - y = -7  =>  x - y + 7 = 0
d = |1*(-1) + (-1)*(2) + 7| / sqrt(1^2 + (-1)^2)
d = |-1 - 2 + 7| / sqrt(1 + 1)
d = |4| / sqrt(2)
d = 4 / sqrt(2) = 2*sqrt(2)
Karena d = r, garis (ii) menyinggung lingkaran di satu titik, bukan memotong di dua titik.

(iii) x - 2y = 2  =>  x - 2y - 2 = 0
d = |1*(-1) + (-2)*(2) - 2| / sqrt(1^2 + (-2)^2)
d = |-1 - 4 - 2| / sqrt(1 + 4)
d = |-7| / sqrt(5)
d = 7 / sqrt(5)
Karena (7/sqrt(5))^2 = 49/5 = 9.8 dan r^2 = 8, maka d > r. Jadi, garis (iii) tidak memotong lingkaran.

(iv) x = y = 1
Ini berarti x=1 dan y=1. Mari kita substitusikan ke persamaan lingkaran:
(1+1)^2 + (1-2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5
Karena 5 < 8, titik (1,1) berada di dalam lingkaran, sehingga garis ini tidak relevan dalam konteks memotong di dua titik jika kita menganggapnya sebagai garis x=1 atau y=1.
Namun, jika kita menganggap (iv) sebagai representasi dari dua garis x=1 dan y=1:
Untuk garis x=1:
(1+1)^2 + (y-2)^2 = 8
4 + (y-2)^2 = 8
(y-2)^2 = 4
y-2 = ±2
y = 2 ± 2 => y=4 atau y=0. Memotong di dua titik (1,4) dan (1,0).

Untuk garis y=1:
(x+1)^2 + (1-2)^2 = 8
(x+1)^2 + (-1)^2 = 8
(x+1)^2 + 1 = 8
(x+1)^2 = 7
x+1 = ±sqrt(7)
x = -1 ± sqrt(7). Memotong di dua titik (-1+sqrt(7), 1) dan (-1-sqrt(7), 1).

Jadi, garis (i) dan garis dari (iv) memotong lingkaran di dua titik.

Pilihan yang benar adalah yang mencakup (i) dan bagian dari (iv) jika (iv) diartikan sebagai garis x=1 atau y=1. Melihat opsi jawaban, kita harus memilih kombinasi yang paling sesuai. Opsi (c) adalah (i) dan (iv). Jika kita menginterpretasikan (iv) sebagai dua garis terpisah yang keduanya memotong lingkaran di dua titik, maka (i) dan (iv) adalah kandidat.

Mari kita konfirmasi ulang opsi:
a. (i) dan (ii) - (ii) menyinggung
b. (i) dan (iii) - (iii) tidak memotong
c. (i) dan (iv) - (i) memotong, (iv) memotong (sebagai x=1 dan y=1)
d. (ii) dan (iii) - keduanya tidak memotong di dua titik
e. (ii) dan (iv) - (ii) menyinggung

Berdasarkan analisis jarak, garis (i) memotong di dua titik. Garis-garis dalam (iv) (x=1 dan y=1) juga memotong lingkaran di dua titik.

Oleh karena itu, kombinasi yang benar adalah (i) dan (iv).