Sebuah kotak terbuka dibuat dari selembar aluminium

a. Model volume: V(x) = 4x^3 - 36x^2 + 80x. b. Ukuran kotak bisa 8m x 6m x 1m (jika x=1m) atau 6m x 4m x 2m (jika x=2m).

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk memodelkan volume kotak terbuka yang dibuat dari selembar aluminium dan menentukan ukuran kotak tersebut jika volumenya 48 m^3.

Diketahui:
- Ukuran lembaran aluminium: 10 m x 8 m.
- Persegi identik dengan sisi x cm dipotong dari setiap pojok.
- Sisi-sisi dilipat tegak untuk membentuk kotak terbuka.

Perlu diperhatikan bahwa satuan sisi lembaran adalah meter (m), sedangkan sisi potongan persegi adalah centimeter (cm). Diasumsikan ada kesalahan pengetikan dan sisi potongan persegi juga dalam meter (x m) agar konsisten dengan ukuran lembaran dan volume yang diminta.

Jika sisi potongan persegi adalah x meter:
Panjang alas kotak = Panjang lembaran - 2x = (10 - 2x) meter
Lebar alas kotak = Lebar lembaran - 2x = (8 - 2x) meter
Tinggi kotak = sisi potongan persegi = x meter

a. Modelkan volume kotak tersebut sebagai fungsi x.
Volume (V) = Panjang × Lebar × Tinggi
V(x) = (10 - 2x)(8 - 2x)(x)
V(x) = (80 - 20x - 16x + 4x^2)(x)
V(x) = (80 - 36x + 4x^2)(x)
V(x) = 4x^3 - 36x^2 + 80x

Model volume kotak sebagai fungsi x adalah V(x) = 4x^3 - 36x^2 + 80x.

Agar kotak dapat dibentuk, nilai x harus positif dan tidak menyebabkan panjang atau lebar menjadi negatif:
x > 0
10 - 2x > 0  => 10 > 2x => x < 5
8 - 2x > 0   => 8 > 2x  => x < 4
Jadi, domain x adalah 0 < x < 4.

b. Untuk membuat kotak dengan volume 48 m^3, tentukan ukuran kotak tersebut.
Kita perlu menyelesaikan persamaan V(x) = 48:
4x^3 - 36x^2 + 80x = 48
Bagi seluruh persamaan dengan 4:
x^3 - 9x^2 + 20x = 12
x^3 - 9x^2 + 20x - 12 = 0

Kita perlu mencari akar dari polinomial ini. Kita bisa mencoba memfaktorkan atau menggunakan metode numerik. Mari kita coba beberapa nilai x dalam domain (0, 4) yang mungkin menghasilkan volume 48.

Coba x = 1:
V(1) = 4(1)^3 - 36(1)^2 + 80(1) = 4 - 36 + 80 = 48.
Jadi, x = 1 meter adalah salah satu solusi.

Jika x = 1 meter:
Panjang = 10 - 2(1) = 8 meter
Lebar = 8 - 2(1) = 6 meter
Tinggi = 1 meter
Ukuran kotak: 8m x 6m x 1m. Volume = 8 * 6 * 1 = 48 m^3.

Mari kita periksa apakah ada solusi lain dalam domain 0 < x < 4. Kita bisa membagi polinomial (x^3 - 9x^2 + 20x - 12) dengan (x - 1).

Menggunakan pembagian polinomial atau sintetik:
(x^3 - 9x^2 + 20x - 12) / (x - 1) = x^2 - 8x + 12.

Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat x^2 - 8x + 12 = 0:
(x - 2)(x - 6) = 0
Maka, x = 2 atau x = 6.

Karena domain x adalah 0 < x < 4, maka x = 6 tidak valid.
Nilai x = 2 meter adalah solusi lain yang valid.

Jika x = 2 meter:
Panjang = 10 - 2(2) = 10 - 4 = 6 meter
Lebar = 8 - 2(2) = 8 - 4 = 4 meter
Tinggi = 2 meter
Ukuran kotak: 6m x 4m x 2m. Volume = 6 * 4 * 2 = 48 m^3.

Jadi, ada dua kemungkinan ukuran kotak yang menghasilkan volume 48 m^3:
1.  Panjang 8m, Lebar 6m, Tinggi 1m (ketika x = 1m).
2.  Panjang 6m, Lebar 4m, Tinggi 2m (ketika x = 2m).