Diketahui prisma ABCD.EFGH dengan alas berbentuk

5376 cm³

Pembahasan

Diketahui prisma ABCD.EFGH dengan alas layang-layang ABCD.
Keliling ABCD = 108 cm
Panjang sisi AB = 20 cm
Panjang diagonal BD = 32 cm
Tinggi prisma AE = 8 cm

Karena ABCD adalah layang-layang dan diketahui kelilingnya serta panjang salah satu sisinya (AB), maka semua sisi layang-layang memiliki panjang yang sama jika layang-layang tersebut adalah belah ketupat. Namun, jika hanya layang-layang biasa, kita tidak bisa langsung menyimpulkan panjang sisi AD, BC, CD. Asumsi umum dalam soal geometri prisma dengan alas layang-layang adalah bahwa layang-layang tersebut adalah belah ketupat, di mana semua sisinya sama panjang. Jika AB = 20 cm, maka BC = CD = AD = 20 cm.
Keliling layang-layang = AB + BC + CD + AD = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 cm. Nilai ini tidak sesuai dengan keliling yang diberikan (108 cm). Ini mengindikasikan bahwa layang-layang ABCD bukanlah belah ketupat, melainkan layang-layang dengan dua pasang sisi yang sama panjang, di mana AB=AD=20 cm dan BC=CD. Atau sebaliknya. Mari kita asumsikan AB=BC=20 cm dan CD=AD.
Keliling = AB + BC + CD + AD = 20 + 20 + CD + AD = 108 cm
40 + CD + AD = 108
CD + AD = 68 cm
Karena ini layang-layang, maka AD = CD atau AB = BC. Jika AB=20, maka AD bisa berbeda.
Namun, jika kita perhatikan soalnya, biasanya layang-layang yang dimaksud dalam konteks prisma adalah belah ketupat. Jika ada ketidaksesuaian angka, kita perlu klarifikasi. 

Mari kita coba interpretasi lain: Jika keliling ABCD = 108 cm dan AB = 20 cm adalah salah satu sisi, dan layang-layang memiliki dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang, maka bisa jadi AB = BC = 20 cm dan CD = AD. Maka 2*20 + 2*sisi_lain = 108 => 40 + 2*sisi_lain = 108 => 2*sisi_lain = 68 => sisi_lain = 34 cm. Jadi, AB=BC=20 cm dan CD=AD=34 cm. Atau AB=AD=20 cm dan BC=CD=34 cm.

Diagonal BD = 32 cm. Dalam layang-layang, diagonal berpotongan tegak lurus. Salah satu diagonal membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Misalkan perpotongan diagonal adalah O. Maka AO tegak lurus BO dan DO. BO = DO = BD/2 = 32/2 = 16 cm. 

Jika AB = 20 cm, maka pada segitiga ABO, $AO^2 + BO^2 = AB^2$.
$AO^2 + 16^2 = 20^2$
$AO^2 + 256 = 400$
$AO^2 = 400 - 256 = 144$
$AO = 12$ cm.

Luas layang-layang ABCD = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * AC * BD.
AC = AO + OC. Kita sudah punya AO = 12 cm.

Sekarang kita perlu menentukan sisi layang-layang yang lain dan diagonal lainnya.
Jika AB=20, AD=34, maka pada segitiga ADO, $AO^2 + DO^2 = AD^2$.
$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$. Ini cocok dengan $AD^2 = 34^2$ ? $34^2 = 1156$. Tidak cocok.

Jika AB=20, AD=20 (belah ketupat), maka 4*20 = 80 cm (tidak sesuai keliling 108).

Mari kita gunakan informasi keliling dan panjang diagonal BD = 32 cm. Misalkan diagonal berpotongan di O. Maka BO = DO = 16 cm. Diagonal AC tegak lurus BD. Misalkan AC = d1 dan BD = d2 = 32.
Luas layang-layang = 1/2 * d1 * d2.

Kita perlu mencari panjang diagonal AC. Karena AB = 20, maka di segitiga ABO, $AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Sekarang kita perlu sisi layang-layang yang lain. Keliling ABCD = 108 cm. AB=20 cm. Misalkan layang-layang memiliki sisi AB=AD=20 cm dan BC=CD=x cm. Maka keliling = 20+20+x+x = 40+2x = 108 => 2x = 68 => x = 34 cm. Jadi AB=AD=20 cm dan BC=CD=34 cm. 
Diagonal BD=32 cm, berpotongan di O. BO=DO=16 cm. AO=12 cm (dari segitiga ABO).
Pada segitiga BCO, $BO^2 + OC^2 = BC^2$.
$16^2 + OC^2 = 34^2$
$256 + OC^2 = 1156$
$OC^2 = 1156 - 256 = 900$
$OC = 30$ cm.

Maka panjang diagonal AC = AO + OC = 12 + 30 = 42 cm.

Luas layang-layang ABCD = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 42 cm * 32 cm = 21 cm * 32 cm = 672 cm$^2$.

Volume prisma = Luas alas * tinggi prisma.
Tinggi prisma AE = 8 cm.
Volume = 672 cm$^2$ * 8 cm = 5376 cm$^3$.

Jika diasumsikan layang-layang adalah belah ketupat, maka AB=BC=CD=AD=20 cm. Keliling = 80 cm (tidak sesuai).

Jadi, berdasarkan informasi yang diberikan, layang-layang memiliki sisi 20 cm, 20 cm, 34 cm, 34 cm, dengan diagonal BD = 32 cm dan diagonal AC = 42 cm. Luas alasnya adalah 672 cm$^2$.

Volume prisma = Luas Alas x Tinggi
Volume = 672 cm$^2$ x 8 cm
Volume = 5376 cm$^3$.