Diketahui prisma segi empat beraturan ABCDEFGH dengan

2√3 cm

Pembahasan

Diketahui prisma segi empat beraturan ABCDEFGH. Ini berarti alasnya adalah persegi. Panjang alas (AB) = 6 cm, dan tinggi prisma (AE) = 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD pada alas ABCD adalah T.

Kita perlu mencari jarak titik D ke garis TH.

Karena alasnya adalah persegi ABCD dengan panjang sisi 6 cm, maka:
Panjang diagonal AC = BD = s√2 = 6√2 cm.
Titik T adalah titik tengah diagonal AC dan BD. Jadi, DT = TB = AT = TC = (1/2) * 6√2 = 3√2 cm.

Perhatikan segitiga TGH. Sisi TG adalah setengah dari diagonal EG pada sisi BCGF. EG sama panjangnya dengan diagonal alas AC dan BD, yaitu 6√2 cm. Maka, TG = (1/2) * 6√2 = 3√2 cm.

Perhatikan segitiga siku-siku TGD. Sisi TD = 3√2 cm. Sisi GD adalah diagonal dari sisi CDHG. CD = 6 cm dan DH = 8 cm. Maka, GD = √(CD^2 + DH^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.

Sekarang kita perlu mencari jarak dari titik D ke garis TH. Garis TH terletak pada bidang EFGH. Titik T berada di tengah alas ABCD, dan titik H berada di sudut alas EFGH. Garis TH menghubungkan titik tengah alas dengan salah satu titik sudut alas atas.

Mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku TDH. TD = 3√2 cm (setengah diagonal alas ABCD). DH = 8 cm (tinggi prisma, sisi tegak). Namun, ini bukan segitiga siku-siku yang relevan untuk menemukan jarak ke garis TH.

Kita perlu mencari jarak dari D ke garis TH. Garis TH berada pada bidang EFGH. Titik T adalah pusat persegi ABCD. Titik H adalah salah satu sudut dari persegi EFGH. Kita perlu memproyeksikan D ke garis TH.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan segitiga siku-siku yang relevan. Perhatikan segitiga siku-siku TGD'. Misalkan D' adalah proyeksi D pada bidang EFGH. Maka D' adalah titik D itu sendiri. Jadi kita perlu mencari jarak D ke garis TH.

Consider segitiga siku-siku TDH. TD = 3√2. DH = 8. TH = √(TG^2 + GH^2) = √((3√2)^2 + 6^2) = √(18 + 36) = √54 = 3√6.

Kita bisa menggunakan luas segitiga TGH. Luas segitiga TGH = 1/2 * alas * tinggi. Jika alasnya GH, tingginya adalah jarak dari T ke GH, yaitu 3√2. Luas = 1/2 * 6 * 3√2 = 9√2.

Sekarang, jika alasnya TH, maka luasnya adalah 1/2 * TH * tinggi (jarak D ke TH).
9√2 = 1/2 * 3√6 * jarak D ke TH
18√2 = 3√6 * jarak D ke TH
jarak D ke TH = 18√2 / 3√6
jarak D ke TH = 6√2 / √6
jarak D ke TH = 6√(2/6)
jarak D ke TH = 6√(1/3)
jarak D ke TH = 6 / √3
jarak D ke TH = 6√3 / 3
jarak D ke TH = 2√3 cm.

Jadi, jarak titik D ke garis TH adalah 2√3 cm.