Diketahui R[O,30] o R[O, 240](a,b) = (-2, -3) Nilai a dan b

a=3, b=-2

Pembahasan

Rotasi pada bidang R[O, α] memutar titik (x, y) sebesar sudut α berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal O(0, 0).
Jika titik (a, b) dirotasikan sebesar α terhadap O, maka bayangannya adalah (a', b'), di mana:
a' = a cos α - b sin α
b' = a sin α + b cos α

Dalam soal ini, rotasi dilakukan sebesar 30 derajat berlawanan arah jarum jam, sehingga α = 30 derajat.
Kita tahu bahwa cos 30° = √3/2 dan sin 30° = 1/2.

Diketahui hasil rotasi adalah (-2, -3). Jadi, a' = -2 dan b' = -3.

Menggunakan rumus rotasi:
-2 = a cos 30° - b sin 30°
-2 = a(√3/2) - b(1/2)  (Persamaan 1)

-3 = a sin 30° + b cos 30°
-3 = a(1/2) + b(√3/2)  (Persamaan 2)

Kalikan kedua persamaan dengan 2 untuk menghilangkan penyebut:
-4 = a√3 - b  (Persamaan 1')
-6 = a + b√3  (Persamaan 2')

Dari Persamaan 1', kita dapatkan b = a√3 + 4.
Substitusikan nilai b ini ke Persamaan 2':
-6 = a + (a√3 + 4)√3
-6 = a + a(3) + 4√3
-6 = 4a + 4√3
-6 - 4√3 = 4a
a = (-6 - 4√3) / 4
a = (-3 - 2√3) / 2

Sekarang, substitusikan nilai a kembali ke Persamaan 1' untuk mencari b:
b = a√3 + 4
b = [(-3 - 2√3) / 2] * √3 + 4
b = (-3√3 - 2*3) / 2 + 4
b = (-3√3 - 6) / 2 + 8/2
b = (-3√3 - 6 + 8) / 2
b = (2 - 3√3) / 2

Menggunakan informasi lain yang diberikan dalam soal: R[O, 240](a,b) = (-2, -3)
Ini berarti rotasi titik (a,b) sebesar 240 derajat menghasilkan (-2, -3).
α = 240°
cos 240° = -1/2
sin 240° = -√3/2

-2 = a cos 240° - b sin 240°
-2 = a(-1/2) - b(-√3/2)
-2 = -a/2 + b√3/2
-4 = -a + b√3 (Persamaan 3)

-3 = a sin 240° + b cos 240°
-3 = a(-√3/2) + b(-1/2)
-3 = -a√3/2 - b/2
-6 = -a√3 - b (Persamaan 4)

Dari Persamaan 3, kita dapatkan b√3 = a - 4, sehingga b = (a - 4) / √3.
Substitusikan ke Persamaan 4:
-6 = -a√3 - [(a - 4) / √3]
Kalikan dengan √3:
-6√3 = -a(3) - (a - 4)
-6√3 = -3a - a + 4
-6√3 = -4a + 4
4a = 4 + 6√3
a = (4 + 6√3) / 4
a = (2 + 3√3) / 2

Sekarang cari b:
b = (a - 4) / √3
b = [((2 + 3√3) / 2) - 4] / √3
b = [(2 + 3√3 - 8) / 2] / √3
b = (-6 + 3√3) / (2√3)
b = (-6√3 + 3*3) / (2*3)
b = (-6√3 + 9) / 6
b = (-2√3 + 3) / 2

Nilai a dan b yang sesuai dengan rotasi 240 derajat adalah a = (2 + 3√3) / 2 dan b = (3 - 2√3) / 2.
Karena soal hanya memberikan satu hasil rotasi (-2, -3) tetapi dengan dua notasi rotasi yang berbeda (R[O,30] dan R[O, 240]), diasumsikan ada kesalahan penulisan di soal atau kedua rotasi tersebut seharusnya merujuk pada titik yang sama dan menghasilkan bayangan yang sama. Namun, jika kita harus memilih satu set jawaban, biasanya soal akan mengacu pada rotasi pertama yang disebutkan. Jika kita asumsikan soal merujuk pada R[O, 30°](a,b) = (-2, -3) saja, maka nilai a dan b yang didapatkan adalah a = (-3 - 2√3) / 2 dan b = (2 - 3√3) / 2.

Namun, jika kita meninjau ulang soalnya, "Diketahui R[O,30] o R[O, 240](a,b) = (-2, -3)", ini bisa diartikan sebagai komposisi dua rotasi. Rotasi pertama R[O, 30] diaplikasikan terlebih dahulu, kemudian R[O, 240] diaplikasikan pada hasil rotasi pertama. Komposisi rotasi R[O, β] o R[O, α] adalah rotasi dengan sudut α + β.
Jadi, R[O, 240] o R[O, 30](a,b) = R[O, 240+30](a,b) = R[O, 270](a,b).
Ini berarti titik (a,b) dirotasikan sebesar 270 derajat menghasilkan (-2, -3).

Untuk rotasi 270 derajat (atau -90 derajat):
α = 270°
cos 270° = 0
sin 270° = -1

-2 = a cos 270° - b sin 270°
-2 = a(0) - b(-1)
-2 = b

-3 = a sin 270° + b cos 270°
-3 = a(-1) + b(0)
-3 = -a
a = 3

Jadi, nilai a dan b berturut-turut adalah 3 dan -2.