Diketahui segitiga ABC dengan A(3,-2), B(5,4), dan C(-1,2).

a. P(1, 4), b. B'(1, 8), C'(3, 2)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan transformasi geometri, khususnya rotasi pada bidang koordinat.

Diketahui:
Titik A(3, -2)
Titik B(5, 4)
Titik C(-1, 2)
Rotasi R(P, 90°) berarti rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat rotasi P.
Bayangan titik A setelah rotasi adalah A'(7, 6).

a. Menentukan koordinat titik P:
Misalkan koordinat titik P adalah (a, b).
Jika titik A(x, y) dirotasi sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(a, b), maka bayangannya A'(x', y') adalah:
x' - a = -(y - b)
y' - b = (x - a)

Kita tahu A(3, -2) dan A'(7, 6). Maka:
7 - a = -(-2 - b)
7 - a = 2 + b  ...(1)

6 - b = (3 - a)
6 - b = 3 - a  ...(2)

Dari persamaan (1):
a = 7 - 2 - b
a = 5 - b

Substitusikan nilai 'a' ke persamaan (2):
6 - b = 3 - (5 - b)
6 - b = 3 - 5 + b
6 - b = -2 + b
6 + 2 = b + b
8 = 2b
b = 4

Sekarang substitusikan nilai 'b' kembali ke persamaan a = 5 - b:
a = 5 - 4
a = 1

Jadi, koordinat titik P adalah (1, 4).

b. Menentukan bayangan titik B dan C:
Kita gunakan rumus rotasi 90 derajat dengan pusat P(1, 4).

Untuk titik B(5, 4):
Misalkan bayangannya adalah B'(x', y').
x' - a = -(y - b)
x' - 1 = -(4 - 4)
x' - 1 = -(0)
x' - 1 = 0
x' = 1

y' - b = (x - a)
y' - 4 = (5 - 1)
y' - 4 = 4
y' = 4 + 4
y' = 8

Jadi, bayangan titik B adalah B'(1, 8).

Untuk titik C(-1, 2):
Misalkan bayangannya adalah C'(x', y').
x' - a = -(y - b)
x' - 1 = -(2 - 4)
x' - 1 = -(-2)
x' - 1 = 2
x' = 2 + 1
x' = 3

y' - b = (x - a)
y' - 4 = (-1 - 1)
y' - 4 = -2
y' = -2 + 4
y' = 2

Jadi, bayangan titik C adalah C'(3, 2).

Jawaban Lengkap:
a. Koordinat titik P adalah (1, 4).
b. Bayangan titik B adalah B'(1, 8) dan bayangan titik C adalah C'(3, 2).

Jawaban Singkat:
a. P(1, 4)
b. B'(1, 8), C'(3, 2)