Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan besar sudut A

a. Sisi depan < sisi miring. b. Saat alpha = 45°. c. Karena sin alpha < 1. d. Sisi miring > sisi samping. e. Saat alpha < 45°. f. Saat alpha > 45°.

Pembahasan

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan sudut A adalah alpha.

a. Mengapa sin alpha < 1?
   Sinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi di depan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa). Dalam segitiga siku-siku, panjang sisi di depan sudut alpha (yaitu sisi BC) selalu lebih pendek daripada panjang sisi miring (yaitu sisi AC), kecuali jika segitiga tersebut degenerasi. Oleh karena itu, $\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} < 1$.

b. Kapan sin alpha = cos alpha?
   Sin alpha = cos alpha terjadi ketika kedua perbandingan tersebut sama. Dalam segitiga siku-siku, ini terjadi ketika kedua sisi siku-siku memiliki panjang yang sama. Jika kedua sisi siku-siku sama, maka kedua sudut lancipnya (selain sudut siku-siku) juga sama besar, yaitu 45 derajat. Jadi, $\sin \alpha = \cos \alpha$ ketika $\alpha = 45^{\circ}$.

c. Mengapa sin alpha < csc alpha?
   Cosecan (csc) alpha adalah kebalikan dari sinus alpha, yaitu $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$. Karena $\sin \alpha < 1$ (seperti dijelaskan di poin a), maka kebalikannya, $\frac{1}{\sin \alpha}$, akan lebih besar dari 1. Oleh karena itu, $\sin \alpha < 1 < \csc \alpha$, sehingga $\sin \alpha < \csc \alpha$.

d. Mengapa sin alpha < tan alpha?
   Tangen alpha didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dengan panjang sisi di samping sudut. $\tan \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$. Sinus alpha adalah $\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$. Karena sisi miring selalu lebih panjang dari sisi samping dalam segitiga siku-siku, maka $\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} < \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$. Oleh karena itu, $\sin \alpha < \tan \alpha$.

e. Kapan sin alpha < cos alpha?
   Seperti yang dijelaskan di poin b, $\sin \alpha = \cos \alpha$ ketika $\alpha = 45^{\circ}$. Jika $\alpha < 45^{\circ}$, maka sisi di depan $\alpha$ akan lebih pendek daripada sisi di samping $\alpha$. Akibatnya, $\sin \alpha = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$ akan lebih kecil dari $\cos \alpha = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}$. Jadi, $\sin \alpha < \cos \alpha$ ketika $\alpha < 45^{\circ}$.

f. Kapan tan alpha > 1?
   Tangen alpha adalah perbandingan $\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$. $\tan \alpha > 1$ ketika panjang sisi di depan sudut alpha lebih besar daripada panjang sisi di samping sudut alpha. Dalam segitiga siku-siku, ini terjadi ketika sudut alpha lebih besar dari 45 derajat, yaitu $\alpha > 45^{\circ}$.