Diketahui segitiga PQR sembarang.Titik A dan titik B

AB = 1/2 r

Pembahasan

Diketahui segitiga PQR sembarang dengan titik A dan B berturut-turut sebagai titik tengah vektor PR dan vektor QR.
Diberikan:
- Vektor QR = p
- Vektor PR = q
- Vektor PQ = r

Kita perlu mencari vektor AB.

Dalam segitiga PQR, kita dapat menyatakan vektor-vektor sisi sebagai berikut:
$\\\vec{QR} = r - q = p$  (Ini tidak sesuai dengan notasi yang diberikan, mari kita gunakan notasi vektor biasa)

Mari kita gunakan titik sebagai referensi, misalnya O.
Maka:
$\\\vec{OR} - \\[\\vec{OQ} = p$
$\\\vec{OR} - \\[\\vec{OP} = q$
$\\[\\vec{OQ} - \\[\\vec{OP} = r$

Titik A adalah titik tengah PR, sehingga:
$\\\vec{OA} = (\\vec{OP} + \\[\\vec{OR}) / 2$

Titik B adalah titik tengah QR, sehingga:
$\\\vec{OB} = (\\vec{OQ} + \\[\\vec{OR}) / 2$

Sekarang kita hitung vektor AB:
$\\\vec{AB} = \\[\\vec{OB} - \\[\\vec{OA}$
$\\\vec{AB} = ((\\[\\vec{OQ} + \\[\\vec{OR}) / 2) - ((\\[\\vec{OP} + \\[\\vec{OR}) / 2)$
$\\\vec{AB} = (1/2) * (\\[\\vec{OQ} + \\[\\vec{OR} - \\[\\vec{OP} - \\[\\vec{OR})$
$\\\vec{AB} = (1/2) * (\\[\\vec{OQ} - \\[\\vec{OP})$

Kita tahu bahwa vektor PQ adalah $\\[\\vec{OQ} - \\[\\vec{OP}$.
Jadi, $\\[\\vec{AB} = (1/2) * \\[\\vec{PQ}$

Diberikan bahwa vektor PQ = r.

Maka, vektor AB = (1/2) * r.

Alternatif menggunakan sifat segitiga:
Dalam segitiga PQR, vektor AB menghubungkan titik tengah dua sisi (PR dan QR). Menurut teorema titik tengah dalam vektor, vektor yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya setengah dari sisi ketiga tersebut.

Sisi ketiga yang dimaksud adalah PQ.
Jadi, vektor AB sejajar dengan vektor PQ dan panjangnya setengah dari panjang vektor PQ.
Ini dapat ditulis sebagai:
$\\\vec{AB} = (1/2) \\[\\vec{PQ}$

Karena diketahui vektor PQ = r, maka:
$\\\vec{AB} = (1/2)r$