limit a->0 1/a ((sin^3 2a)/(cos2a))+sin2a cos2a

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri. Pertama, kita substitusikan a=0 ke dalam ekspresi:

lim (a->0) [1/a * (((sin^3 2a)/(cos2a)) + sin2a cos2a)]

Perhatikan bahwa ketika a mendekati 0, sin(2a) mendekati 0 dan cos(2a) mendekati 1. Maka ekspresi menjadi:

lim (a->0) [1/a * (0/1 + 0*1)] = lim (a->0) [1/a * 0] = 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu.

Mari kita coba faktorkan sin(2a) dari ekspresi di dalam kurung:

lim (a->0) [1/a * sin(2a) * ((sin^2 2a)/(cos2a) + cos2a)]

Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(x)/x = 1. Jadi, lim (a->0) sin(2a)/a = lim (a->0) 2 * (sin(2a)/(2a)) = 2 * 1 = 2.

Sekarang kita evaluasi bagian dalam kurung saat a mendekati 0:

(sin^2 2a)/(cos2a) + cos2a  menjadi (0^2)/1 + 1 = 0 + 1 = 1.

Jadi, limitnya menjadi:

lim (a->0) [ (sin(2a)/a) * ((sin^2 2a)/(cos2a) + cos2a) ]
= [lim (a->0) sin(2a)/a] * [lim (a->0) ((sin^2 2a)/(cos2a) + cos2a)]
= [2] * [1]
= 2