Diketahui segitiga PQR seperti digambarkan di bawahini.Jika

Soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa informasi tambahan mengenai bentuk segitiga PQR atau panjang sisinya.

Pembahasan

Diketahui segitiga PQR dengan sin P = 3/5 dan tan R = 12/5.

Dari sin P = 3/5, kita dapat menentukan sisi-sisi segitiga siku-siku yang berhubungan dengan sudut P. Jika sin P = depan/miring = 3/5, maka sisi depan sudut P adalah 3 dan sisi miringnya adalah 5. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, sisi samping sudut P adalah sqrt(5^2 - 3^2) = sqrt(25 - 9) = sqrt(16) = 4.

Dari tan R = 12/5, kita dapat menentukan sisi-sisi segitiga siku-siku yang berhubungan dengan sudut R. Jika tan R = depan/samping = 12/5, maka sisi depan sudut R adalah 12 dan sisi sampingnya adalah 5.

Karena P dan R adalah sudut dalam segitiga PQR, maka P + Q + R = 180 derajat.

Kita perlu menemukan luas segitiga PQR. Luas segitiga dapat dihitung dengan rumus 1/2 * alas * tinggi. Atau, jika kita mengetahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, Luas = 1/2 * a * b * sin(C).

Untuk menghitung luasnya, kita perlu mengetahui panjang sisi-sisi segitiga PQR atau tinggi dan alasnya. 

Dari informasi yang diberikan, kita bisa menentukan perbandingan sisi-sisi. 
Misalkan PQ adalah alas dan tinggi segitiga adalah h. 

Jika kita menganggap P sebagai sudut siku-siku, maka sin P = depan/miring. Tan R = depan/samping.

Mari kita asumsikan P adalah salah satu sudut lancip dalam segitiga siku-siku. 
Jika sin P = 3/5, maka cos P = 4/5 dan tan P = 3/4.
Jika tan R = 12/5, maka sin R = 12/13 dan cos R = 5/13.

Luas segitiga PQR = 1/2 * PQ * PR * sin P
Luas segitiga PQR = 1/2 * PQ * QR * sin Q
Luas segitiga PQR = 1/2 * PR * QR * sin R

Kita perlu lebih banyak informasi untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga atau hubungan antar sudut-sudutnya secara pasti. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa segitiga PQR memiliki sudut siku-siku di Q, maka:

Jika sudut Q = 90 derajat:
 tan P = QR/PQ = 3/4
 tan R = PQ/QR = 5/12 (Ini bertentangan dengan tan R = 12/5)

Jika kita menggunakan aturan sinus:
 QR/sin P = PR/sin Q = PQ/sin R

Misalkan QR = 3k dan PR = 5k (dari sin P = 3/5).

Jika tan R = 12/5, maka di segitiga siku-siku dengan sudut R, sisi depan adalah 12 dan sisi samping adalah 5. Sisi miringnya adalah sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13.
Jadi, sin R = 12/13 dan cos R = 5/13.

Kita tahu P + Q + R = 180.
Q = 180 - (P + R).
sin Q = sin(180 - (P + R)) = sin(P + R) = sin P cos R + cos P sin R
cos P = sqrt(1 - sin^2 P) = sqrt(1 - (3/5)^2) = sqrt(1 - 9/25) = sqrt(16/25) = 4/5 (karena P adalah sudut segitiga, cos P positif).

sin Q = (3/5)*(5/13) + (4/5)*(12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65.

Sekarang kita bisa menggunakan aturan sinus:
QR/sin P = PR/sin Q
QR / (3/5) = PR / (63/65)
QR * (5/3) = PR * (65/63)
QR/PR = (65/63) * (3/5) = (13/21) * (1) = 13/21.
Jadi, QR/PR = 13/21.

Ini bertentangan dengan informasi dari sin P = 3/5 yang menyiratkan perbandingan sisi depan P (QR) terhadap sisi miring (PR) adalah 3/5.

Ada kemungkinan bahwa soal ini mengacu pada segitiga siku-siku di mana P dan R adalah sudut lancip.
Jika kita menggunakan sisi-sisi segitiga yang proporsional: 
Dari sin P = 3/5, kita punya sisi depan P = 3x, sisi miring = 5x, sisi samping = 4x.
Dari tan R = 12/5, kita punya sisi depan R = 12y, sisi samping = 5y.

Jika kita mengasumsikan segitiga PQR siku-siku di Q:
PQ = sisi samping P, QR = sisi depan P, PR = sisi miring P.
PQ = 4x, QR = 3x, PR = 5x.

tan R = PQ/QR = 4x/3x = 4/3.
Ini bertentangan dengan tan R = 12/5.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin P dan R adalah sudut-sudut dalam segitiga, dan nilai sin P dan tan R diberikan.
Luas segitiga dapat dihitung dengan 1/2 * a * b * sin C. 
Misalkan sisi QR = p, PR = q, PQ = r.
Luas = 1/2 * q * r * sin P = 1/2 * q * r * (3/5) = 3qr/10.
Luas = 1/2 * p * r * sin Q.
Luas = 1/2 * p * q * sin R = 1/2 * p * q * (12/5) = 6pq/5.

Dengan menggunakan aturan cosinus:
p^2 = q^2 + r^2 - 2qr cos P
q^2 = p^2 + r^2 - 2pr cos Q
r^2 = p^2 + q^2 - 2pq cos R

Kita tahu cos P = 4/5.
cos R = 5/13.

Kita tidak dapat menyelesaikan soal ini tanpa asumsi tambahan atau klarifikasi mengenai bentuk segitiga PQR (misalnya, apakah ada sudut siku-siku atau hubungan sisi tertentu).

Namun, jika kita mengasumsikan ada kesalahan penulisan dan bahwa segitiga PQR adalah segitiga siku-siku di mana:
sisi depan P = 3, sisi samping P = 4, sisi miring P = 5.
sisi depan R = 12, sisi samping R = 5, sisi miring R = 13.
Dan sudut Q = 90 derajat.

Maka tan P = depan/samping = QR/PQ = 3/4. Ini berarti QR = 3k dan PQ = 4k.
tan R = depan/samping = PQ/QR = 4k/3k = 4/3. Ini bertentangan dengan tan R = 12/5.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada dua segitiga siku-siku terpisah yang informasinya diberikan, dan kita perlu menemukan luas segitiga PQR dari informasi tersebut, soal ini tetap tidak jelas.

Jika kita mengasumsikan bahwa P dan R adalah sudut-sudut dalam satu segitiga, dan:
sin P = 3/5 => tan P = 3/4
tan R = 12/5 => sin R = 12/13, cos R = 5/13

Kita dapat mencari tan(P+R) = (tan P + tan R) / (1 - tan P tan R)
tan(P+R) = (3/4 + 12/5) / (1 - (3/4)*(12/5))
tan(P+R) = ((15+48)/20) / (1 - 36/20)
tan(P+R) = (63/20) / ((20-36)/20)
tan(P+R) = (63/20) / (-16/20) = -63/16.

Karena tan(P+R) negatif, maka P+R adalah sudut tumpul (antara 90 dan 180 derajat). Ini berarti Q = 180 - (P+R) adalah sudut lancip.

Tan Q = tan(180 - (P+R)) = -tan(P+R) = -(-63/16) = 63/16.

Untuk menghitung luas, kita masih memerlukan panjang salah satu sisi.

Jika kita menganggap P adalah sudut di titik P, Q di Q, R di R. Dan sisi p, q, r berhadapan dengan sudut P, Q, R.
Luas = 1/2 qr sin P = 1/2 pr sin Q = 1/2 pq sin R.

Misalkan sin P = 3/5, tan R = 12/5.
Ini adalah soal yang tidak dapat diselesaikan tanpa informasi tambahan atau asumsi yang jelas mengenai bentuk segitiga PQR.