Diketahui sistem pertidaksamaan dua variabel

12

Pembahasan

Untuk menentukan luas persegi panjang, kita perlu mencari panjang dan lebar persegi panjang tersebut. Persegi panjang berada dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan y >= x^2 - 4x dan y < -x^2 + 4x. Dua titik sudut yang diketahui adalah (1, 3) dan (3, 3).

Karena kedua titik ini memiliki nilai y yang sama (y=3), mereka kemungkinan berada pada sisi horizontal yang sama dari persegi panjang tersebut. Jarak antara kedua titik ini dapat mewakili panjang atau lebar persegi panjang.

Misalkan kedua titik ini adalah (x1, y1) = (1, 3) dan (x2, y2) = (3, 3).

1. Periksa apakah titik-titik tersebut berada dalam daerah penyelesaian:
Untuk (1, 3):
y >= x^2 - 4x  => 3 >= 1^2 - 4(1)  => 3 >= 1 - 4  => 3 >= -3 (Benar)
y < -x^2 + 4x => 3 < -(1)^2 + 4(1) => 3 < -1 + 4  => 3 < 3 (Salah, karena seharusnya kurang dari)

Terdapat kesalahan dalam asumsi awal atau dalam soalnya, karena titik (1,3) tidak memenuhi pertidaksamaan y < -x^2 + 4x. Mari kita cek titik (3,3).

Untuk (3, 3):
y >= x^2 - 4x  => 3 >= 3^2 - 4(3)  => 3 >= 9 - 12  => 3 >= -3 (Benar)
y < -x^2 + 4x => 3 < -(3)^2 + 4(3) => 3 < -9 + 12  => 3 < 3 (Salah, karena seharusnya kurang dari)

Kedua titik yang diberikan tidak memenuhi salah satu pertidaksamaan. Ini menunjukkan ada kemungkinan kesalahan ketik pada soal atau titik yang diberikan tidak berada pada kurva pembatas daerah penyelesaian yang dimaksud.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa titik-titik tersebut adalah titik sudut yang *berada pada kurva pembatas* dan kita diminta mencari luas persegi panjang yang *mungkin* terbentuk dengan sisi sejajar sumbu koordinat, dan kedua titik tersebut adalah titik sudut yang berhadapan, kita bisa mencoba pendekatan lain.

Jika (1,3) dan (3,3) adalah dua titik sudut, dan kita asumsikan ini adalah sisi horizontal, maka:
Panjang sisi horizontal = |3 - 1| = 2.

Sekarang kita perlu mencari titik sudut lainnya. Karena simetri, jika ada titik sudut di y=3, maka mungkin ada titik sudut lain di y yang sama pada kurva lainnya, atau titik sudut lain yang simetris terhadap sumbu simetri parabola.

Parabola y = x^2 - 4x memiliki sumbu simetri di x = -(-4)/(2*1) = 2. Titik puncaknya adalah (2, 2^2 - 4*2) = (2, 4-8) = (2, -4).
Parabola y = -x^2 + 4x memiliki sumbu simetri di x = -(4)/(2*(-1)) = 2. Titik puncaknya adalah (2, -(2^2) + 4*2) = (2, -4+8) = (2, 4).

Daerah penyelesaian dibatasi oleh y = x^2 - 4x (parabola terbuka ke atas) dan y = -x^2 + 4x (parabola terbuka ke bawah). Kedua parabola berpotongan ketika:
x^2 - 4x = -x^2 + 4x
2x^2 - 8x = 0
2x(x - 4) = 0
Jadi, perpotongan terjadi di x = 0 dan x = 4.

Jika titik (1,3) dan (3,3) adalah titik sudut atas dan bawah dari persegi panjang, maka lebarnya adalah 3-3 = 0, yang tidak mungkin.

Jika kita mengasumsikan bahwa (1,3) dan (3,3) adalah titik sudut pada sisi yang sama dari persegi panjang, dan sisi tersebut sejajar dengan sumbu-x, maka panjang sisi tersebut adalah 3-1 = 2. Titik-titik ini harus berada pada batas daerah penyelesaian. Mari kita periksa kembali.

Titik (1,3):
Pada kurva y = -x^2 + 4x: 3 = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3. (Titik (1,3) berada pada kurva y = -x^2 + 4x)

Titik (3,3):
Pada kurva y = -x^2 + 4x: 3 = -(3)^2 + 4(3) = -9 + 12 = 3. (Titik (3,3) berada pada kurva y = -x^2 + 4x)

Jadi, kedua titik (1,3) dan (3,3) berada pada kurva y = -x^2 + 4x. Ini berarti sisi horizontal persegi panjang dengan panjang 2 berada pada y=3.

Sekarang kita perlu mencari titik sudut di bawahnya yang berada pada kurva y = x^2 - 4x.
Karena sumbu simetri kedua parabola adalah x=2, maka titik-titik yang berjarak sama dari x=2 pada kurva y = -x^2 + 4x akan memiliki nilai y yang sama. Titik (1,3) berjarak 1 dari x=2, dan titik (3,3) berjarak 1 dari x=2. Ini konsisten.

Untuk mencari titik sudut di bawahnya, kita cari titik pada kurva y = x^2 - 4x yang memiliki koordinat x yang sama dengan titik sudut di atasnya, yaitu x=1 dan x=3.

Untuk x=1 pada kurva y = x^2 - 4x:
y = (1)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3. Jadi, titik sudutnya adalah (1, -3).
Untuk x=3 pada kurva y = x^2 - 4x:
y = (3)^2 - 4(3) = 9 - 12 = -3. Jadi, titik sudutnya adalah (3, -3).

Persegi panjang memiliki titik sudut (1, 3), (3, 3), (3, -3), dan (1, -3).

Panjang persegi panjang = Jarak antara (1,3) dan (3,3) = |3 - 1| = 2.
Lebar persegi panjang = Jarak antara (1,3) dan (1,-3) = |3 - (-3)| = |3 + 3| = 6.

Luas persegi panjang = Panjang * Lebar
Luas = 2 * 6
Luas = 12

Jadi, luas persegi panjang yang dimaksud adalah 12 satuan luas.