Diketahui suku banyak f(x) dibagi x^(2)-4 mempunyai sisa a

Sisa pembagian f(x)g(x) oleh x^2+x-6 adalah -4x+2.

Pembahasan

Diketahui:
1. Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-4$ adalah $ax+a$. Ini berarti $f(x) = q_1(x)(x^2-4) + ax+a$.
2. Sisa pembagian $g(x)$ oleh $x^2-9$ adalah $ax+a-5$. Ini berarti $g(x) = q_2(x)(x^2-9) + ax+a-5$.
3. Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x+2$ sama dengan sisa pembagian $g(x)$ oleh $x-3$.
4. $f(-3) = -2$ dan $g(2) = -2$.

Kita perlu mencari sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$.

Langkah 1: Gunakan informasi sisa pembagian.
Dari $f(x) = q_1(x)(x^2-4) + ax+a$, kita substitusikan $x=2$ dan $x=-2$: 
$f(2) = q_1(2)(2^2-4) + a(2)+a = 0 + 2a+a = 3a$.
$f(-2) = q_1(-2)((-2)^2-4) + a(-2)+a = 0 -2a+a = -a$.

Dari $g(x) = q_2(x)(x^2-9) + ax+a-5$, kita substitusikan $x=3$ dan $x=-3$: 
$g(3) = q_2(3)(3^2-9) + a(3)+a-5 = 0 + 3a+a-5 = 4a-5$.
$g(-3) = q_2(-3)((-3)^2-9) + a(-3)+a-5 = 0 -3a+a-5 = -2a-5$.

Langkah 2: Gunakan informasi kesamaan sisa.
Sisa $f(x)$ oleh $x+2$ adalah $f(-2)$.
Sisa $g(x)$ oleh $x-3$ adalah $g(3)$.
Diketahui $f(-2) = g(3)$.
Maka, $-a = 4a-5 \Rightarrow 5a = 5 \Rightarrow a = 1$.

Sekarang kita punya nilai $a=1$. Mari kita hitung nilai $f(-2)$ dan $g(3)$:
$f(-2) = -a = -1$.
$g(3) = 4a-5 = 4(1)-5 = 4-5 = -1$.
Ini konsisten dengan informasi bahwa $f(-2) = g(3)$.

Langkah 3: Gunakan informasi tambahan.
Diketahui $f(-3) = -2$ dan $g(2) = -2$.
Kita punya $f(-2) = -a = -1$ dan $g(3) = 4a-5 = -1$.
Kita juga punya $f(2) = 3a = 3(1) = 3$.
Dan $g(-3) = -2a-5 = -2(1)-5 = -7$.

Mari kita periksa $f(-3)=-2$ menggunakan sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-4$, yaitu $ax+a = x+1$.
$f(-3) = q_1(-3)((-3)^2-4) + a(-3)+a = q_1(-3)(9-4) + (-3)(1)+1 = 5q_1(-3) - 2$. 
Karena $f(-3)=-2$, maka $-2 = 5q_1(-3) - 2$, yang berarti $5q_1(-3) = 0$, sehingga $q_1(-3) = 0$.

Mari kita periksa $g(2)=-2$ menggunakan sisa pembagian $g(x)$ oleh $x^2-9$, yaitu $ax+a-5 = x+1-5 = x-4$.
$g(2) = q_2(2)(2^2-9) + a(2)+a-5 = q_2(2)(4-9) + (1)(2)+1-5 = -5q_2(2) + 2+1-5 = -5q_2(2) - 2$.
Karena $g(2)=-2$, maka $-2 = -5q_2(2) - 2$, yang berarti $-5q_2(2) = 0$, sehingga $q_2(2) = 0$.

Langkah 4: Tentukan sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$.
$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
Misalkan sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$ adalah $Rx+S$.
Maka, $f(x)g(x) = q_3(x)(x^2+x-6) + Rx+S = q_3(x)(x+3)(x-2) + Rx+S$.

Substitusikan $x=-3$:
$f(-3)g(-3) = q_3(-3)(-3+3)(-3-2) + R(-3)+S$
$f(-3)g(-3) = 0 + -3R+S$. 
Kita tahu $f(-3)=-2$. Kita perlu nilai $g(-3)$. Dari Langkah 1, $g(-3) = -2a-5 = -2(1)-5 = -7$.
Jadi, $(-2)(-7) = -3R+S 
14 = -3R+S$ (Persamaan 1).

Substitusikan $x=2$:
$f(2)g(2) = q_3(2)(2+3)(2-2) + R(2)+S$
$f(2)g(2) = 0 + 2R+S$. 
Kita tahu $g(2)=-2$. Kita perlu nilai $f(2)$. Dari Langkah 1, $f(2) = 3a = 3(1) = 3$.
Jadi, $(3)(-2) = 2R+S$
$-6 = 2R+S$ (Persamaan 2).

Langkah 5: Selesaikan sistem persamaan linear.
Kita punya sistem persamaan:
1) $-3R+S = 14$
2) $2R+S = -6$

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(-3R+S) - (2R+S) = 14 - (-6)$
$-3R+S-2R-S = 14+6$
$-5R = 20$
$R = -4$.

Substitusikan $R=-4$ ke Persamaan 2:
$2(-4)+S = -6$
$-8+S = -6$
$S = -6+8$
$S = 2$.

Maka, sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x^2+x-6$ adalah $Rx+S = -4x+2$.

Mari kita periksa dengan pilihan jawaban:
(A) $4x-2$
(B) $-4x-2$
(C) $4x+2$
(D) $-4x+2$
(E) $-4x-1$

Jawaban yang sesuai adalah (D).