Diketahui tan alpha=1/3 dan tan beta=1/5 untuk 0<alpha<90

56/33

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari $\tan (2 \alpha+2 \beta)$, kita perlu menggunakan identitas penjumlahan tangen dua kali dan identitas penjumlahan tangen biasa.

Diketahui $\tan \alpha = 1/3$ dan $\tan \beta = 1/5$, dengan $0 < \alpha < 90^{\circ}$ dan $0 < \beta < 90^{\circ}$.

Langkah 1: Hitung $\tan (2\alpha)$ menggunakan identitas $\tan (2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$.
$\tan (2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Langkah 2: Hitung $\tan (2\beta)$ menggunakan identitas yang sama.
$\tan (2\beta) = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$.

Langkah 3: Hitung $\tan (2\alpha + 2\beta)$ menggunakan identitas $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
Di sini, $A = 2\alpha$ dan $B = 2\beta$.
$\tan (2\alpha + 2\beta) = \frac{\tan (2\alpha) + \tan (2\beta)}{1 - \tan (2\alpha) \tan (2\beta)}
= \frac{3/4 + 5/12}{1 - (3/4)(5/12)}
= \frac{(9/12) + (5/12)}{1 - 15/48}
= \frac{14/12}{1 - 5/16}
= \frac{7/6}{(16/16) - (5/16)}
= \frac{7/6}{11/16}
= \frac{7}{6} \times \frac{16}{11}
= \frac{112}{66}
= \frac{56}{33}$.

Jadi, nilai dari $\tan (2 \alpha+2 \beta)$ adalah $56/33$.