Diketahui tiga vektor a, b, dan c dengan |a|=5, |b|=12, dan

Nilai dari a . b + b . c + c . a adalah -169.

Pembahasan

Diketahui tiga vektor a, b, dan c dengan |a|=5, |b|=12, dan |c|=13. Diketahui juga bahwa a + b + c = 0.
Kita diminta untuk mencari nilai dari a . b + b . c + c . a.

Dari persamaan a + b + c = 0, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
(a + b + c) . (a + b + c) = 0 . 0

Menggunakan sifat distributif perkalian dot:
a . a + a . b + a . c + b . a + b . b + b . c + c . a + c . b + c . c = 0

Kita tahu bahwa a . a = |a|^2, a . b = b . a, a . c = c . a, dan b . c = c . b.
Jadi, persamaan menjadi:
|a|^2 + 2(a . b) + 2(a . c) + |b|^2 + 2(b . c) + |c|^2 = 0

Susun ulang persamaan untuk mendapatkan nilai yang dicari:
2(a . b) + 2(b . c) + 2(c . a) = -(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)

2(a . b + b . c + c . a) = -(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)

Sekarang, substitusikan nilai magnitudo vektor yang diketahui:
|a| = 5 => |a|^2 = 25
|b| = 12 => |b|^2 = 144
|c| = 13 => |c|^2 = 169

2(a . b + b . c + c . a) = -(25 + 144 + 169)
2(a . b + b . c + c . a) = -(338)

a . b + b . c + c . a = -338 / 2
a . b + b . c + c . a = -169

Jadi, nilai dari a . b + b . c + c . a adalah -169.